코사인 법칙

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, 틀:Llang)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.

정의

삼각형의 세 각 $A,B,C$ 및 이들이 마주하는 변 $a,b,c$

삼각형 $ABC$의 세 각 $A,B,C$가 마주하는 변이 각각 $a,b,c$라고 하면, 다음이 성립한다.

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

여기서 $\cos$은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.틀:Rp

코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.틀:Rp

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

코사인 법칙에서 $C$가 직각일 경우, $\cos C=0$이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.틀:Rp

$c^2=a^2+b^2$

역사

유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다. 틀:인용문 틀:인용문

레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》(틀:Llang)에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다.틀:Rp 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》(틀:Llang)에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.틀:Rp

증명

유클리드의 《원론》에서의 증명

코사인 법칙의 유클리드의 《원론》에서의 증명

그림과 같이, $C$를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 $ABC$의 높이선 $BH$를 긋자. 그렇다면, $ABH$는 $H$를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$

또한, $AH=AC+CH$이므로, 다음이 성립한다.

$A{B}^2=(AC+CH{)}^2+B{H}^2=A{C}^2+2(AC)(CH)+C{H}^2+B{H}^2$

마지막 두 항을 직각 삼각형 $BCH$에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.

$A{B}^2=A{C}^2+2(AC)(CH)+B{C}^2$

이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라

$\cos C=-\cos (\pi -C)=-\frac{CH}{BC}$

이므로, 코사인 법칙

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2(AC)(BC)\cos C$

이 $C$가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.틀:Rp $C$가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.

삼각법을 통한 증명

코사인 법칙의 삼각법을 통한 증명

삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.

$a=b\cos C+c\cos B$

$b=a\cos C+c\cos A$

$c=a\cos B+b\cos A$

세 등식의 양변에 각각 $a,b,c$를 곱하면 다음을 얻는다.

$a^2=ab\cos C+ac\cos B$

$b^2=ab\cos C+bc\cos A$

$c^2=ac\cos B+bc\cos A$

이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.

$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$

이로써 코사인 법칙이 증명된다.

벡터와 스칼라곱을 사용한 증명

다음과 같은 세 벡터를 정의하자.

$𝐚=\overrightarrow{CB},𝐛=\overrightarrow{CA},𝐜=\overrightarrow{AB}=𝐚-𝐛$

그렇다면, 벡터 $𝐚,𝐛,𝐜$의 길이는 각각 $a,b,c$이며, 벡터 $𝐚$와 $𝐛$ 사이의 각도는 $C$이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}{c}^2& =𝐜\cdot 𝐜\\ & =(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)\\ & =𝐚\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛-2𝐚\cdot 𝐛\\ & =a^2+b^2-2ab\cos C\end{array}$

비유클리드 기하학의 경우

구면 코사인 법칙

구면 삼각형의 세 각 $A,B,C$와 이들이 마주하는 세 변 $a,b,c$

단위 구면 위의 구면 삼각형 $ABC$의 세 각 $A,B,C$가 마주하는 세 변이 각각 $a,b,c$라고 하면, 다음이 성립한다.

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$

여기서 $\cos ,\sin$은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, 틀:Llang)이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c$

이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, 틀:Llang)이라고 한다.

이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\cos C=\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}$

$\cos c=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}$

제1 구면 코사인 법칙의 증명 (법벡터 사용)

다음과 같은 벡터들을 정의하자.

$𝐮=\frac{\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|},𝐯=\frac{\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|}$

즉, $𝐮,𝐯$는 각각 $C$에서 $A,B$를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면, $𝐮,𝐯$ 사이의 각도는 $C$이다. 또한, $\{\overrightarrow{OC},𝐮\},\{\overrightarrow{OC},𝐯\}$는 각각 평면 $OAC,OAB$의 정규 직교 기저를 이루므로, $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.

$\overrightarrow{OA}=\cos a\cdot \overrightarrow{OC}+\sin a\cdot 𝐮$

$\overrightarrow{OB}=\cos b\cdot \overrightarrow{OC}+\sin b\cdot 𝐯$

따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\cos c& =\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\\ & =(\cos a\cdot \overrightarrow{OC}+\sin a\cdot 𝐮)\cdot (\cos b\cdot \overrightarrow{OC}+\sin b\cdot 𝐯)\\ & =\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{array}$

제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용)

단위 구면의 중심을 $O$라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.

$𝐚=\overrightarrow{OA},𝐛=\overrightarrow{OB},𝐜=\overrightarrow{OC}$

그렇다면, $𝐚,𝐛,𝐜$의 길이는 모두 1이며, $𝐚,𝐛$ 사이의 각도는 $c$이며, $𝐚,𝐜$ 사이의 각도는 $b$이며, $𝐛,𝐜$ 사이의 각도는 $a$이다. 따라서, 벡터곱 $𝐚\times 𝐛$, $𝐚\times 𝐜$, $𝐛\times 𝐜$의 길이는 각각 $\sin c$, $\sin b$, $\sin a$이다. 또한, $𝐚\times 𝐛$와 $𝐚\times 𝐜$ 사이의 각도는 $A$이며, $𝐛\times 𝐚$와 $𝐛\times 𝐜$ 사이의 각도는 $B$이며, $𝐜\times 𝐚$와 $𝐜\times 𝐛$ 사이의 각도는 $C$이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.

$(𝐜\times 𝐛)\cdot (𝐜\times 𝐚)=(𝐜\cdot 𝐜)(𝐚\cdot 𝐛)-(𝐜\cdot 𝐛)(𝐜\cdot 𝐚)$

여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.

$\sin a\sin b\cos C=\cos c-\cos a\cos b$

이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.

제2 구면 코사인 법칙의 증명

구면 삼각형 $ABC$의 극삼각형을 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$a^{\prime }=\pi -A,b^{\prime }=\pi -B,c^{\prime }=\pi -C$

$A^{\prime }=\pi -a,B^{\prime }=\pi -b,C^{\prime }=\pi -c$

따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$에 적용하면, 구면 삼각형 $ABC$에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.

쌍곡 코사인 법칙

가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 $ABC$의 세 각 $A,B,C$이 마주하는 변이 각각 $a,b,c$라고 하면, 다음이 성립한다.

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C$

여기서 $\cosh ,\sinh$는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, 틀:Llang)이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c$

이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, 틀:Llang)이라고 한다.

이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.틀:Rp

$\cos C=\frac{\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}$

$\cosh c=\frac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}$

특히, $C$가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.틀:Rp

$\cosh c=\cosh a\cosh b$

제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명

복소 평면 $ℂ$ 위의 열린 단위 원판 $D\subseteq ℂ$ 위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 $z_1,z_2,z_3$의 세 각의 크기를 $A,B,C$, 세 변의 길이를 $a,b,c$라고 하자. $D$ 위에 적절한 등거리 변환을 가하여 $z_3,z_2,z_1$을 각각 원점 0, 양의 실수 $r\in {ℝ}^{+}$, 허수부 $\mathrm{Im}z>0$가 0보다 큰 복소수 $z$로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 $z,r,0$의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 $z_1,z_2,z_3$와 같으므로, 새로운 삼각형 $z,r,0$에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.

$a=\ln \frac{1+r}{1-r}$

$b=\ln \frac{1+|z|}{1-|z|}$

$c=\ln \frac{|1-rz|+|z-r|}{|1-rz|-|z-r|}$

여기서 $\ln$은 자연 로그이며, $|-|$은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.

$\tanh \frac{a}{2}=r$

$\tanh \frac{b}{2}=|z|$

$\tanh \frac{c}{2}=\frac{|z-r|}{|1-rz|}$

여기서 $\tanh$는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}\cosh c& =2{\sinh }^2\frac{c}{2}+1\\ & =2\frac{{\tanh }^2\frac{c}{2}}{1-{\tanh }^2\frac{c}{2}}+1\\ & =2\frac{|z-r{|}^2}{|1-rz{|}^2-|z-r{|}^2}+1\\ & =2\frac{r^2+|z{|}^2-2rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z{|}^2)}+1\\ & =\frac{(1+r^2)(1+|z{|}^2)-4rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z{|}^2)}\end{array}$

넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 $z,r,0$에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.틀:Rp

$\cosh a=\frac{1+{\tanh }^2\frac{a}{2}}{1-{\tanh }^2\frac{a}{2}}=\frac{1+r^2}{1-r^2}$

$\sinh a=\frac{2\tanh \frac{a}{2}}{1-{\tanh }^2\frac{a}{2}}=\frac{2r}{1-r^2}$

$\cosh b=\frac{1+|z|}{1-|z|}$

$\sinh b=\frac{2|z|}{1-|z{|}^2}$

제2 쌍곡 코사인 법칙의 증명

쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.

$\frac{\sin A}{\sinh a}=\frac{\sin B}{\sinh b}=\frac{\sin C}{\sinh c}=\frac{\sqrt{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b\sinh c}$

이에 따라 각 $A,B,C$의 사인 값은 다음과 같다.

$\sin A=\frac{\sqrt{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh b\sinh c}$

$\sin B=\frac{\sqrt{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh c}$

$\sin C=\frac{\sqrt{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b}$

또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 $A,B,C$의 코사인 값은 다음과 같다.

$\cos A=\frac{\cosh b\cosh c-\cosh a}{\sinh b\sinh c}$

$\cos B=\frac{\cosh a\cosh c-\cosh b}{\sinh a\sinh c}$

$\cos C=\frac{\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}$

따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\frac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}& =\frac{(\cosh b-\cosh c-\cosh a)(\cosh a\cosh c-\cosh b)+{\sinh }^{2}c(\cosh a\cosh b-\cosh c)}{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}\\ & =\frac{\cosh a\cosh b{\cosh }^{2}c-{\cosh }^{2}a\cosh c-{\cosh }^{2}b\cosh c+\cosh a\cosh b+\cosh a\cosh b{\sinh }^{2}c-\cosh c{\sinh }^{2}c}{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}\\ & =\cosh c\end{array}$

마지막 등호에는 항등식 ${\cosh }^{2}c-{\sinh }^{2}c=1$이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.틀:Rp

평면 코사인 법칙과의 관계

평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 $r$일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.

$\cosh \frac{c_r}{r}=\cosh \frac{a_r}{r}\cosh \frac{b_r}{r}-\sinh \frac{a_r}{r}\sinh \frac{b_r}{r}\cos C_r$

이 경우, $r\to \mathrm{\infty }$일 때 쌍곡 거리 $a_r,b_r,c_r$는 유클리드 거리의 2배 $2a_{\mathrm{\infty }},2b_{\mathrm{\infty }},2c_{\mathrm{\infty }}$로 수렴하며, 쌍곡각 $A_r,B_r,C_r$은 유클리드 각 $A_{\mathrm{\infty }},B_{\mathrm{\infty }},C_{\mathrm{\infty }}$로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.

$\cosh \frac{a_r}{r}=1+\frac{1}{2}{\left(\frac{a_r}{r}\right)}^2+o\left(\frac{1}{r^2}\right)(r\to \mathrm{\infty })$

$\cosh \frac{b_r}{r}=1+\frac{1}{2}{\left(\frac{b_r}{r}\right)}^2+o\left(\frac{1}{r^2}\right)(r\to \mathrm{\infty })$

$\cosh \frac{c_r}{r}=1+\frac{1}{2}{\left(\frac{c_r}{r}\right)}^2+o\left(\frac{1}{r^2}\right)(r\to \mathrm{\infty })$

이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

$\frac{c_r^2}{r^2}=\frac{a_r^2}{r^2}+\frac{b_r^2}{r^2}-2\sinh \frac{a_r}{r}\sinh \frac{b_r}{r}\cos C_r+o\left(\frac{1}{r^2}\right)(r\to \mathrm{\infty })$

다음에 주의하여, 양변에 $r^2$을 곱한 뒤 극한 $r\to \mathrm{\infty }$을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }r\sinh \frac{a_r}{r}=2a_{\mathrm{\infty }}$

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }r\sinh \frac{b_r}{r}=2b_{\mathrm{\infty }}$

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }r\sinh \frac{b_r}{r}=2c_{\mathrm{\infty }}$

그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.틀:Rp

$c_{\mathrm{\infty }}^2=a_{\mathrm{\infty }}^2+b_{\mathrm{\infty }}^2-2a_{\mathrm{\infty }}{b}_{\mathrm{\infty }}\cos C_{\mathrm{\infty }}$

제2 쌍곡 코사인 법칙

$\cos C_r=-\cos A_r\cos B_r+\sin A_r\sin B_r\cosh \frac{c_r}{r}$

에 극한 $r\to \mathrm{\infty }$을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.

$\cos C_{\mathrm{\infty }}=-\cos A_{\mathrm{\infty }}\cos B_{\mathrm{\infty }}+\sin A_{\mathrm{\infty }}\sin B_{\mathrm{\infty }}$

이는 $A_{\mathrm{\infty }}+B_{\mathrm{\infty }}+C_{\mathrm{\infty }}=\pi$이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.틀:Rp

같이 보기

• 사인 법칙
• 탄젠트 법칙
• 코탄젠트 법칙
• 삼각함수

외부 링크

• 틀:Proofwiki