중심 닮음 변환

아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, 틀:Llang)은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다.

정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$와 점 $a_0\in A$ 및 0이 아닌 상수 $\lambda \in K\setminus \{0\}$이 주어졌다고 하자. $a_0$을 중심으로 하고 $\lambda$를 비로 하는 $A$의 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

$H_{a_0,\lambda }:A\to A$

$H_{a_0,\lambda }:a\mapsto a_0+\lambda (a-a_0)(a\in A)$

특히, $\lambda =1$일 경우 이는 항등 함수이며, $\lambda =-1$일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다.

확대 변환

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 위 함수 $D:A\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $D$를 확대 변환(擴大變換, 틀:Llang)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $D$는 아핀 변환이다.
  • $D$의 선형 변환 성분은 일반 선형군 $\mathrm{GL}(V(A))$의 중심 $K\setminus \{0\}\subseteq \mathrm{GL}(V(A))$의 원소이다. (여기서 $V(A)$는 $A$의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.)
• $D$는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)

틀:증명 만약 $D$가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 $a_0\in A$라고 하고, 비를 $\lambda \in K\setminus \{0\}$이라고 하자. 그렇다면 임의의 $a\in A$에 대하여

$D(a)-D(a_0)=(a_0+\lambda (a-a_0))-a_0=\lambda (a-a_0)$

이다. 즉, $D$는 $\lambda$를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 $D\in V(A)$가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 $v\in V(A)$라고 하자. 그렇다면 임의의 $a,b\in A$에 대하여,

$D(b)-D(a)=(b+v)-(a+v)=b-a$

이다. 즉, $D$는 항등 함수 $1\in K\setminus \{0\}$을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 $D$가 $K\setminus \{0\}$의 원소 $\lambda \in K\setminus \{0\}$을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 $a\in A$를 취하자. 만약 $\lambda =1$이라면, 임의의 $b\in A$에 대하여

$D(b)=D(a)+(b-a)=b+(D(a)-a)$

이므로, $D$는 $D(a)-a$를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 $\lambda \ne 1$이라면, 아핀 결합

$a_0=\frac{D(a)-\lambda a}{1-\lambda }$

는 $D$의 고정점이다. 따라서 임의의 $b\in A$에 대하여,

$D(b)=D(a_0)+\lambda (b-a_0)=a_0+\lambda (b-a_0)$

이므로, 이는 $a_0$을 중심으로 하고 $\lambda$를 비로 하는 중심 닮음 변환이다. 틀:증명 끝

성질

대수적 성질

아핀 공간 $A$ 위의 확대 변환들은 아핀 군 $\mathrm{Aff}(A)$의 정규 부분군 $\mathrm{Dil}(A)$를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.

기하학적 성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 위 함수 $D:A\to A$가 주어졌고, $\dim A\ne 1$이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$는 확대 변환이다.
• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $D$는 전단사 함수이다.
  • 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$에 대하여, $D(L)$은 $L$에 평행하는 아핀 직선이다.

틀:증명 편의상 $\dim A\ge 2$라고 하자.

만약 $D$가 확대 변환이라면, 우선 $D$가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$에 대하여, $D(L)$ 역시 아핀 직선이다. $D$의 선형 변환 성분을 $\lambda$라고 하고, 임의의 $a,b\in L$를 취하자. 그렇다면

$D(b)-D(a)=\lambda (b-a)$

이다. 따라서, $D(L)$은 $L$에 평행한다.

만약 $D$가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$를 취하고, $L$이 $\{a,b\}$로 생성된다고 하자. 그렇다면 $D(L)$은 $L$에 평행하는 아핀 직선이며, $\{D(a),D(b)\}$로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 $D^{\prime }\in \mathrm{Dil}(A)$가 존재한다.

$D^{\prime }(a)=D(a)$

$D^{\prime }(b)=D(b)$

임의의 $c\in A\setminus L$에 대하여, $D$에 대한 가정에 의하여, $\{D(a),D(c)\}$, $\{D(b),D(c)\}$로 생성된 아핀 직선은 각각 $\{a,c\}$, $\{b,c\}$로 생성된 아핀 직선에 평행한다. $D^{\prime }$은 확대 변환이므로, $D^{\prime }(c)$는 $\{D(a),D(c)\}$, $\{D(b),D(c)\}$로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, $D^{\prime }(c)=D(c)$이다. $\dim A\ge 2$이므로 $L$과 평행하는 $L$이 아닌 아핀 직선 $L^{\prime }\subseteq A\setminus L$가 존재하며, 이를 $L$ 대신 사용하면 임의의 $c\in A\setminus L^{\prime }$에 대하여 $D^{\prime }(c)=D(c)$라는 사실을 얻는다. 따라서 $D=D^{\prime }$이며, $D$는 확대 변환이다. 틀:증명 끝

중심 닮음 변환에 대한 상 $H_{a_0,\lambda }(a)$는 중심 $a_0$과 원래 점 $a$를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 $\lambda$를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 $|\lambda |$의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 $|\lambda |$를 비로 하는 닮음 변환이다.

예

3차원 유클리드 공간 ${ℝ}^3$의 원점 $(0,0,0)$을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

$H_{(0,0,0),2}:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$

$H_{(0,0,0),2}:(x,y,z)\mapsto (2x,2y,2z)(x,y,z\in ℝ)$

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
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