산술 기하 평균

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 산술 기하 평균(算術幾何平均, 틀:Llang)은 산술 평균과 기하 평균 연산에 의한 점화 수열에 극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 구체적으로, 두 실수 틀:수학의 산술 기하 평균 틀:수학는 다음과 같이 정의된다.

우선 두 수 틀:수학의 산술 평균을 틀:수학, 기하 평균을 틀:수학라고 하자.

$a_1=\frac{x+y}{2}$

$g_1=\sqrt{xy}$

이후 틀:수학과 틀:수학을 틀:Mvar와 틀:Mvar 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 틀:수학을 얻게 된다.

$a_{n+1}=\frac{a_n+g_n}{2}$

$g_{n+1}=\sqrt{a_n{g}_n}$

이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 틀:Mvar와 틀:Mvar의 산술 기하 평균이라 한다. 틀:수학 또는 틀:수학로 표기한다.

일반화적인 산술평균 및 기하평균은 다음과 같다.

예

24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

$a_1=\frac{24+6}{2}=15$

$g_1=\sqrt{24\times 6}=12$

이 과정을 다음과 같이 반복한다.

$\begin{array}{cc}{a}_2& =\frac{15+12}{2}=13.5\\ g_2& =\sqrt{15\times 12}=13.41640786499\dots \\ \dots \end{array}$

다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

틀:Mvar	틀:수학	틀:수학
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864998738178455042…
3	13.458203932499369089227521…	13.458139030990984877207090…
4	13.458171481745176983217305…	13.458171481706053858316334…
5	13.458171481725615420766820…	13.458171481725615420766806…

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.

역사

두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다.

성질

기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최댓값보다 작다. 이러한 이유로 인해

$\min \{x,y\}\le g_1\le g_2\le \cdots \le M(x,y)\le \cdots \le a_2\le a_1\le \max \{x,y\}$

이 성립한다. 틀:수학인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.

위에서 알 수 있듯이, 틀:수학는 틀:Mvar와 틀:Mvar 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.

틀:수학에 대해, 틀:수학의 등식이 성립한다.

다음은 틀:수학의 적분 형식이다.

$\begin{array}{cc}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}/\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$

여기서 틀:수학는 제1종 완전 타원 적분이다.

$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}$

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다.

관련 개념

1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다.

$G=\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=0.8346268\dots$

기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다.

산술 기하 평균은 로그와 제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다.

틀:Mvar의 존재성 증명

두 수열 틀:수학은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.

산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 틀:Mvar에 대해 다음이 성립한다.

$g_n\le a_n$

틀:수학는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}x& \le g_1\\ a_1& \le y\end{array}$

또한 다음과 같이 틀:수학 모두가 단조수열임을 보일 수 있다.

$g_{n+1}=\sqrt{g_n{a}_n}\ge \sqrt{g_n{g}_n}=g_n$

$a_{n+1}=\frac{g_n+a_n}{2}\le \frac{a_n+a_n}{2}=a_n$

모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.

$x\le g_1\le g_2\le \cdots \le a_2\le a_1\le y$

따라서 틀:수학 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한

$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.

같이 보기

• 멱평균
• 산술-기하 평균 부등식
• 가우스-르장드르 알고리즘

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. 틀:ISBN
• Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
• 틀:SpringerEOM
• 틀:매스월드