산술-기하 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명이다.
PR은 중심이 O인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 a와 b의 산술 평균이다. 틀:Nowrap 틀:Nowrap PR을 밑변으로 할 때의 높이 GQ는 기하 평균이다. 틀:Nowrap의 비와 상관 없이, 틀:Nowrap이다.

틀:Math의 시각적인 증명이다. 양변에 제곱근을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.

수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 틀:Llang)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

정의

음이 아닌 실수들 $x_1,x_2,\dots ,x_n\ge 0$이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}⟺x_1=x_2=\cdots =x_n$

증명

귀납적 증명

음이 아닌 실수 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\ge 0$ 및 그 산술 평균

$x=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x^n\ge x_1{x}_2\cdots x_n$

$x^n=x_1{x}_2\cdots x_n⟺x_1=x_2=\cdots =x_n$

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, $n=1$인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, $n$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식

$x^{n+1}\ge x_1{x}_2\cdots x_{n+1}$

$x^{n+1}=x_1{x}_2\cdots x_{n+1}⟺x_1=x_2=\cdots =x_{n+1}$

$x=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n+1}}{n+1}$

을 보이자.

만약 $x_1=x_2=\cdots =x_{n+1}$라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, $x$보다 큰 수와 $x$보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, $x_n>x>x_{n+1}$라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

$(x_n-x)(x-x_{n+1})>0$ ①

이다. 또한, 양의 실수

$y=x_n+x_{n+1}-x\ge x_n-x>0$

를 정의하면, 다음에 따라, $x$는 $n$개의 음이 아닌 실수 $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1},y$의 산술 평균이기도 하다.

$\begin{array}{cc}nx& =x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n+x_{n+1}-x\\ & =x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+y\end{array}$

귀납 가정에 따라,

$x^{n+1}=x^{n}x\ge x_1{x}_2\cdots x_{n-1}yx$ ②

이며, 또한 ①에 따라

$yx-x_n{x}_{n+1}=(x_n+x_{n+1}-x)x-x_n{x}_{n+1}=(x_n-x)(x-x_{n+1})>0$

이므로,

$yx>x_n{x}_{n+1}$ ③

이다. ②와 ③에 따라,

$x^{n+1}=x^{n}x\ge x_1{x}_2\cdots x_{n-1}yx\ge x_1{x}_2\cdots x_{n-1}{x}_n{x}_{n+1}$ ④

④에서, $x>0$이므로, 만약 $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

코시의 증명

모든 항이 같은 경우

만약

$x_1=x_2=\cdots =x_n$

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 $x_1$로 같다.

모든 항이 같지는 않은 경우

만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 $n>1$이다.

n = 2

서로 다른 두 항 $x_1,x_2$가 주어지면,

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2-x_1{x}_2& =\frac{1}{4}(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2)-x_1{x}_2\\ & =\frac{1}{4}(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)\\ & ={\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)}^2>0\end{array}$

이므로,

$\frac{x_1+x_2}{2}>\sqrt{x_1{x}_2}$

이다.

n = 2^k

$n$이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, $k$에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

$k=1$인 경우, 즉 $n=2$인 경우는 이미 증명되었다.

$k-1$에 대한 부등식의 가정 아래, $k$에 대한 부등식을 보이자.

$\begin{array}{cc}\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^k}}{2^k}& =\frac{\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}+\frac{x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2}\\ & \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1{x}_2\cdots x_{2^{k-1}}}+\sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}{x}_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^k}}}{2}\\ & \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1{x}_2\cdots x_{2^{k-1}}}\sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}{x}_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^k}}}\\ & =\sqrt[2^k]{x_1{x}_2\cdots x_{2^k}}\end{array}$

여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

$x_1=x_2=\cdots =x_{2^{k-1}}$

$x_{2^k+1}=x_{2^k+2}=\cdots =x_{2^k}$

이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

$x_1=x_2=\cdots =x_{2^k}$

이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^k}}{2^k}>\sqrt[2^k]{x_1{x}_2\cdots x_{2^k}}$

이다.

n < 2^k

$n$이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, $n$보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 $m$을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 및 그 산술 평균 $x$가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 $m$개로 확장하자.

$x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_m=x$

그렇다면, 이미 증명한 $m$에 대한 부등식에 따라,

$\begin{array}{cc}x& =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\\ & =\frac{\frac{m}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)}{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+\frac{m-n}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)}{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+(m-n)x}{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+x_{n+1}+\cdots +x_m}{m}\\ & >\sqrt[m]{x_1{x}_2\cdots x_n{x}_{n+1}\cdots x_m}\\ & =\sqrt[m]{x_1{x}_2\cdots x_n{x}^{m-n}}\end{array}$

따라서,

$x^m>x_1{x}_2\cdots x_n{x}^{m-n}$

즉,

$x>\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

이다.

미분을 통한 증명

우선, $n=1,2$인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, $n>1$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1>2$에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 $x_1\ne x_2$이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

$\frac{x_1+\cdots +x_n+x_{n+1}}{n+1}-(x_1\cdots x_n{x}_{n+1}{)}^{\frac{1}{n+1}}>0$

이는 음이 아닌 실수 $x_1,\dots ,x_n\ge 0$을 고정하고, 함수

$f(t)=\frac{x_1+\cdots +x_n+t}{n+1}-(x_1\cdots x_{n}t{)}^{\frac{1}{n+1}}(t\ge 0)$

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

$f(x_{n+1})>0$

극값을 구하기 위해, $f$의 미분을 취하자.

$f^{\prime }(t)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}}{t}^{-\frac{n}{n+1}}$

따라서, $f$는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

$f^{\prime }(t_0)=0⟺t_0=(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}$

따라서, $f$의 가능한 극값은 다음과 같다.

$f(0)=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n+1}>0$

$\begin{array}{cc}f(t_0)& =\frac{x_1+\cdots +x_n+(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}}{n+1}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n(n+1)}}\\ & =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n+1}+\frac{1}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\\ & =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n+1}-\frac{n}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\\ & =\frac{n}{n+1}(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}})\\ & >0\end{array}$

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t)=\mathrm{\infty }>0$

여기서, $f(t_0)=0$일 수 없는 이유는, 이미 $x_1\ne x_2$이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 $t\ge 0$에 대하여,

$f(t)>0$

이다. 특히, $t=x_{n+1}$일 경우,

$f(x_{n+1})>0$

이다. 이렇게 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

볼록성을 통한 증명

산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 $x_1,x_2\dots ,x_n>0$에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

$\ln \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}>\frac{1}{n}(\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n)(\mathrm{\neg }{x}_1=x_2=\cdots =x_n)$

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

$(\ln x{)}^{″}=\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}<0(x>0)$

에 따라 성립한다.

관련 정리

가중 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x₁, x₂, …, x_n과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_n가 있을 때, 가중치의 합 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$이라 하면 다음이 성립한다.

$\frac{{\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n}{\alpha }\ge \sqrt[\alpha ]{x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}}$

마찬가지로 이 부등식은 모든 x_k들이 같을 때 등식이 된다.

가중 산술-기하 평균 부등식의 증명

${\alpha }_k=0(k=0,1,\cdots ,n)$를 가중치로 갖는 $x_k$은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 ${\alpha }_k$는 양수라고 가정할 수 있다.

$f(x)=lnx$에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

$x>0$일 때 $f(x)=lnx$는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

$\begin{array}{cc}\ln \left(\frac{{\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n}{\alpha }\right)& >\frac{{\alpha }_1}{\alpha }\ln x_1+\cdots +\frac{{\alpha }_n}{\alpha }\ln x_n\\ & =\ln \sqrt[\alpha ]{x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}}.\end{array}$

이다. $f(x)=lnx$는 단조증가함수이므로

$\frac{{\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n}{\alpha }\ge \sqrt[\alpha ]{x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}}$

가 성립함이 증명된다.

제곱-산술-기하-조화 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 $x_1,x_2,\dots ,x_n\ge 0$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots x_n^2}{n}}$

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}<\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}<\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}<\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots x_n^2}{n}}(\mathrm{\neg }{x}_1=x_2=\cdots =x_n)$

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots x_n^2}{n}}(x_1=x_2=\cdots =x_n)$

기타

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

같이 보기

• 영의 부등식

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:매스월드
• 틀:Proofwiki