부정적분

$y^{\prime }=x^2-x-1$의 기울기장에 그려진 함수 $f(x)=x^2-x-1$의 세 가지 원함수 $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+C$. 적분 상수는 $C=-4,0,4$.

틀:미적분학 미적분학에서 부정적분(不定積分, 틀:Llang)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

정의

함수 $f(x)$ ($x\in I$)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 $F(x)$ ($x\in I$)가 존재한다면, 이를 $f(x)$의 원함수(原函數, 틀:Llang) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.

$F^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in I$

함수 $f(x)$ ($x\in I$)의 한 원함수 $F(x)$가 존재할 경우, $f(x)$의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.

$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$

이를 $f(x)$의 부정적분이라고 한다. 여기서 $C$는 임의의 상수이며, 이를 적분상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 $C$에 대하여, $(C{)}^{\prime }=0$이므로, $(F(x)+C{)}^{\prime }=f(x)$이다. 즉, $F(x)+C$는 $f(x)$의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 $G(x)$에 대하여, $(G(x)-F(x){)}^{\prime }=0$이므로, 평균값 정리에 따라 $G(x)-F(x)$는 상수 함수이다. 따라서 $G(x)$는 $G(x)=F(x)+C$ 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, $f(x)=1/x^2$에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 $(0,\mathrm{\infty })$ 및 $(-\mathrm{\infty },0)$ 가운데 하나를 선택하여야 한다.틀:Rp

$\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{x}+C$

전체 정의역 $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })$에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.틀:Rp

$\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{x}+C& x>0\\ -\frac{1}{x}+C^{\prime }& x<0\end{array}$

성질

미분과의 관계

만약 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.

$(\int f(x)\mathrm{d}x)=f(x)$

만약 $F(x)$가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.

$\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$

이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

미적분학의 기본 정리

틀:본문 연속 함수 $f(x)$의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

반대로, 연속 함수$f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

선형성

함수 $f(x),g(x)$의 부정적분이 존재한다면, $f(x)\pm g(x)$의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.

$\int f(x)\pm g(x)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

함수 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면, 상수 $c$에 대하여 $cf(x)$의 부정적분 역시 존재하며, $c\ne 0$일 경우 다음이 성립한다.

$\int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x$

이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

치환 적분

틀:본문 만약 $f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 존재하며, $g(t)$가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\int f(g(t))g^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\int f(x)\mathrm{d}x=F(g(t))+C$

만약 $g(t)$가 미분 가능 함수이며, $g^{\prime }(t)\ne 0$가 성립하며, $f(g(t))g^{\prime }(t)$의 한 원함수 $H(t)$가 존재한다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(g(t))g^{\prime }(t)\mathrm{d}t=H(g^{-1}(x))+C$

부분 적분

틀:본문 만약 $f(x),g(x)$가 미분 가능 함수이며, $f^{\prime }(x)g(x)$의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.

$\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x$

예

유리 함수

모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.

• $\frac{A}{(x-a{)}^m}$
• $\frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^n}$

여기서 $A,B,C,a,p,q\in ℝ$은 실수이며 $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$은 양의 정수이다. 또한 $p^2-4q<0$을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\int \frac{A}{x-a}\mathrm{d}x=A\ln (x-a)+C$

$\int \frac{A}{(x-a{)}^m}\mathrm{d}x=-\frac{A}{(m-1)(x-a{)}^{m-1}}+C(m>1)$

$\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q}\mathrm{d}x=\frac{B}{2}\ln (x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$

$\int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x=-\frac{B}{2(n-1)(x^2+px+q{)}^{n-1}}+(C-Bp/2)\int \frac{1}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x(n>1)$

$\int \frac{1}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{2(n-1)(q-p^2/4)}(\frac{x+p/2}{(x^2+px+q{)}^{n-1}}+(2n-3)\int \frac{1}{(x^2+px+q{)}^{n-1}}\mathrm{d}x)(n>1)$

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

삼각 유리 함수

삼각 유리 함수는 $R(\sin x,\cos x)$ 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$\tan \frac{x}{2}=t,x=2\arctan t,\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$

만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$라면, 이는 항상 $R(u,v)=u{R}_1(u^2,v)$ 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int \sin x{R}_1({\sin }^{2}x,\cos x)\mathrm{d}x=-\int R_1(1-t^2,t)\mathrm{d}t(\cos x=t)$

마찬가지로, 만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$라면, 이는 $R(u,v)=v{R}_1(u,v^2)$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int \cos x{R}_1(\sin x,{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=\int R_1(t,1-t^2)\mathrm{d}t(\sin x=t)$

만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$라면, $R(u,v)=R_1(u/v,v^2)$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R_1(\tan x,{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=\int R_1(t,\frac{1}{1+t^2})\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t(\tan x=t)$

사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}{2}+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}{2}$

무리 함수

무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

$R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$

여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이며, $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$는 양의 정수이며, $a,b,c,d\in ℝ$는 실수이다. 또한 $ad-bc\ne 0$을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,x=\frac{d{t}^n-b}{a-c{t}^n},\mathrm{d}x=\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-c{t}^n{)}^2}\mathrm{d}t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x=\int R(\frac{d{t}^n-b}{a-c{t}^n},t)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-c{t}^n{)}^2}\mathrm{d}t$

함수 $(a+bz{)}^p{z}^q$를 생각하자. 여기서 $a,b\in ℝ$는 실수이며, $p,q\in \mathbb{Q}$는 유리수이다. $p,q,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. $p=r/s$이며 $q=r^{\prime }/s^{\prime }$라고 하자. 여기서 $r,s,r^{\prime },s^{\prime }\in \mathbb{Z}$는 정수이다. 만약 $p\in \mathbb{Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 $\sqrt[s^{\prime }]{z}$뿐이므로, 치환 적분 $\sqrt[s^{\prime }]{z}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $q\in \mathbb{Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 $\sqrt[s]{a+bz}$뿐이므로, 역시 치환 적분 $\sqrt[s]{a+bz}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $p+q\in \mathbb{Z}$일 경우, 함수를 $((a+bz)/z{)}^p{z}^{p+q}$와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 $\sqrt[s]{(a+bz)/z}$뿐이므로, 치환 적분 $\sqrt[s]{(a+bz)/z}=t$를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 $x^m(a+b{x}^n{)}^p$를 생각하자. 여기서 $a,b\in ℝ$는 실수이며, $m,n,p\in \mathbb{Q}$는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$x^n=z,x=z^{1/n},\mathrm{d}x=\frac{1}{n}{z}^{1/n-1}\mathrm{d}z$

그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int x^m(a+b{x}^n{)}^p\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int (a+bz{)}^p{z}^{(m+1)/n-1}\mathrm{d}z$

따라서 $p,q=(m+1)/n-1,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 $p,q,p+q$가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분

초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.

• (오차 함수) $\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$
• (프레넬 함수) $\int \sin x^2\mathrm{d}x$
• (삼각 적분 함수) $\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$
• (로그 적분 함수) $\int \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x$
• $\int x^x\mathrm{d}x$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm{d}x$

같이 보기

• 정적분
• 적분표
• 기호적분
• 적분상수