삼각 적분 함수

Si(x) (파랑), Ci(x) (녹색)의 그래프

삼각 적분 함수(틀:Llang)은 삼각 함수의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수가 됨이 알려져 있다.

사인 적분 함수

0 ≤ x ≤ 8π에 대한 Si(x)의 그래프

여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ 은$\sin x/x$의 $x=0$에서 시작하는 정적분이며, $\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$은 $\sin x/x$의 $x=\mathrm{\infty }$에서 끝나는 정적분이다.

여기서 $\frac{\sin t}{t}$는 싱크 함수혹은 0번째 구면 베셀 함수이다.

$x=\mathrm{\infty }$이면 디리클레 적분이 된다.

코사인 적분 함수

0 < x ≤ 8π에 대한 Ci(x)의 그래프.

여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$은 $x=\mathrm{\infty }$에서 끝나는 $\cos x/x$의 정적분이다. 다음이 성립한다.

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

쌍곡사인 적분 함수

쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}dt=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x).$

그리고 이 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2(2n)!}=x+\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}+\frac{x^7}{7!\cdot 7}+\cdots .$

쌍곡코사인 적분 함수

쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

전개

삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다.

점근 전개(asymptotic expansion)

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots )-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\cdots )$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots )-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\cdots )$

이 급수는 점근 전개(asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만 $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)\gg 1$인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다.

수렴 급수

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$

이 급수는 모든 복소수 $x$에 대해 수렴하며, $|x|\gg 1$ 이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다.

지수 적분 함수의 허수부와 관계

아래의 함수는 지수 적분 함수라고 불리며

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}\mathrm{d}t(\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\ge 0)$

Si 와 Ci와 관련이 있다.:

${\mathrm{E}}_1(\mathrm{i}x)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x))-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=i\mathrm{s}\mathrm{i}(x)-\mathrm{c}\mathrm{i}(x)(x>0)$

x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인 $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ 구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, $\pi$의 정수배 항이 등장한다.

일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (ax)\frac{\ln x}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}+\sum _{n\ge 1}\frac{(-a^2{)}^n}{(2n)!(2n{)}^2},$

이것은 아래 식의 실수부이다.

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\frac{\pi }{2}i(\gamma +\ln a)+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^n}{n!n^2}.$

비슷하게

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x^2}dx=1+ia[-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a-1)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\ln a+1-\frac{i\pi }{2}(\gamma +\ln a-1)]+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^{n+1}}{(n+1)!n^2}.$

같이 보기

• 지수 적분 함수
• 로그 적분 함수

신호 처리

• Gibbs phenomenon
• Ringing artifacts

각주

• 틀:AS ref
• 틀:인용
• 틀:Dlmf
• 틀:ArXiv 인용, Appendix B.
• Sine Integral Taylor series proof. 틀:웹아카이브