오차 함수

오차함수의 그래프

오차 함수(誤差函數, error function)는 확률론, 통계학, 편미분 방정식 등에서 사용하는 비초등 함수이다. 가우스 오차 함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$

오른쪽 항을 테일러 급수로 전개하여 적분하면 모든 실수 x에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{erf}(x)& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\cdots )\end{array}$

여오차 함수 그래프

'여오차 함수(餘誤差函數)'는 erfc라고 쓰며 오차 함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$

'복소오차 함수'는 w(x)라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

$w(x)=e^{-x^2}\text{erfc}(-ix)$

정규 분포와의 관계

오차함수는 정규 분포의 누적분포함수와 본질적으로 동일하다. Φ라고 쓰며 상수배하거나 평행이동하는 차이밖에 없다.

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}[1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)]$

정규 분포가 확률론 및 통계학오차함수 역시 자주 사용된다.

외부 링크

• MathWorld - Erf