보렐 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 대수군 이론에서, 보렐 부분군(Borel部分群, 틀:Llang)은 대수군의 극대 가해 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 포물형 부분군(抛物型部分群, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 대수적으로 닫힌 체 $K$
• $K$ 위의 (자리스키 위상에서) 연결 대수군 $G\to \mathrm{Spec}K$

$G$의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

정의 1

$G$의 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.

• 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다.
• 자리스키 위상에 대하여 연결 공간이다.
• 군으로서 가해군이다.

이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 보렐 부분군이라고 한다.틀:Rp

대수군 $G$의 부분 대수군 가운데, $G$의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 포물형 부분군(抛物型部分群, 틀:Llang)이라고 한다.

정의 2

$G$의 부분군 $H\le G$ 가운데, 잉여류 공간 $G/H$가 $K$-완비 대수다양체를 이루는 것을 $G$의 포물형 부분군이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소를 보렐 부분군이라고 한다.

성질

보렐 부분군은 켤레 아래 유일하다.틀:Rp 즉, 대수적으로 닫힌 체 $G$ 위의 대수군 $G$의 임의의 두 보렐 부분군 $H,H^{\prime }\le G$가 주어졌을 때,

$H^{\prime }=gH{g}^{-1}$

가 되는 $g\in G$가 존재한다.

보렐 부분 리 대수

체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝔤$의 부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 $𝔤$의 보렐 부분 리 대수(틀:Llang)라고 한다.

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$일 때, 유한 차원 $𝕂$-반단순 리 대수 $𝔤$ 및 그 보렐 부분 리 대수 $𝔟$를 생각하자. 그렇다면, $𝔤$를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군 $G$에 대하여, $G$의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는 $𝔟$와 동형이다.

예

자명한 경우

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 가해 연결 대수군 $G$의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은 $G$ 자신이다. 이 경우 $G/G\cong \mathrm{Spec}K$는 자명하게 $K$-완비 대수다양체를 이룬다.

일반 선형군

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 일반 선형군 $\mathrm{GL}(n;K)$을 생각하자. 그 위의 가역 상삼각 행렬들의 부분군

$B=\{\left(\begin{array}{ccccc}{m}_{11}& m_{12}& \cdots & m_{n,n-1}& m_{n,n}\\ 0& m_{22}& \cdots & m_{2,n-1}& m_{2,n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& & & m_{n-1,n-1}& m_{n-1,n}\\ 0& 0& \cdots & 0& m_{nn}\end{array}\right):m_{i,j}\in K,m_{ii}\ne 0\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n\}\subseteq \mathrm{GL}(n;K)$

은 $\mathrm{GL}(n;K)$의 보렐 부분군이다.

이 경우 $\mathrm{GL}(n;K)/B$는 기 대수다양체이다.

표준 보렐 부분 리 대수

복소수체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.

• 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$
• 양근 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)\subseteq \mathrm{\Delta }(𝔤,𝔥)$

그렇다면, 멱영 리 대수

$𝔫=\underset{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$

를 정의할 수 있다. 이 경우 $𝔥\oplus 𝔫$을 $𝔤$의 표준 보렐 부분 리 대수(標準Borel部分Lie代數, 틀:Llang)라고 하며, 이는 $𝔤$의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

역사

아르망 보렐이 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab