기 (수학)

대수기하학에서, 기(旗, 틀:Llang)는 벡터 공간 속의 부분 벡터 공간들로 구성된 여과이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$ 속의 기는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

{0} = V_{0} ⊊ V_{1} ⊊ V_{2} ⊊ \dots ⊊ V_{k} = V

여기서 각 $V_{i}$ 는 $V$ 의 부분 $K$ -벡터 공간이다. 즉, $V$ 의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.

만약 $V = K^{n}$ 가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 $n$ 인 기를 완비기(完備旗, 틀:Llang)라고 한다.

$V = K^{n}$ 속의, 차원들이 $(d_{0} = 0 d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} = n)$ 인 기들의 모듈라이 공간

Flag (d_{1}, \dots, d_{k - 1}, d_{k}; K)

을 기 대수다양체(旗代數多樣體, 틀:Llang)라고 한다. 이는 $K$ -사영 대수다양체를 이룬다.

$K$ -벡터 공간 $V$ 의 $k$ 개 성분의 기 $(V_{i})_{0 \leq i \leq k}$ 들의 공간 $Flag (k; V)$ 위에는 일반 선형군 $GL (V)$ 가 다음과 같이 작용한다.

g \cdot (V_{i})_{0 \leq i \leq k} = (g V_{i})_{0 \leq i \leq k}

이 작용에 대한 안정자군을 기 $(V_{i})_{0 \leq i \leq k}$ 의 안정자군이라고 한다.

유한 차원 벡터 공간 $V = K^{n}$ 속의 기의 안정자군은 일반 선형군 $GL (V)$ 의 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 $GL (V)$ 의 보렐 부분군이다.

유한 차원 $K$ -벡터 공간 $V = K^{n}$ 의 기저 $(v_{1}, \dots, v_{n})$ 를 잡고, 표준기(標準旗, 틀:Llang)

V_{i} = {Span}_{K} {v_{1}, \dots, v_{i}}

를 생각하자. 그렇다면, 그 안정자군은 다음과 같이 가역 상삼각 행렬들로 구성된다.

M = (\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & \dots & m_{n, n - 1} & m_{n, n} \\ 0 & m_{22} & \dots & m_{2, n - 1} & m_{2, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & m_{n - 1, n - 1} & m_{n - 1, n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & m_{n n} \end{matrix}) (m_{i i} \neq 0 \forall i = 1, \dots, n)

“기”(틀:Llang)라는 용어는 이미 1955년에 아르망 보렐이 사용하였다.^[1]틀:Rp “기”라는 단어의 어원은 다음과 같다. $V = ℝ^{3}$ 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.

3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.

이에 따라, $ℝ^{3}$ 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.