베주 정리

대수기하학에서 베주 정리(Bézout定理, 틀:Llang)는 두 평면 대수 곡선의 교차수는 그 두 곡선의 차수들의 곱과 같다는 정리이다.

정의

$k$ 가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, $X$ 와 $Y$ 가 $k$ 에 대한 2차원 사영 공간 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) 대수 곡선이라고 하자. 그렇다면 $X$ 와 $Y$ 의 중복도를 고려한 교차수는 $X$ 의 차수와 $Y$ 의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, $p_{1}, \dots, p_{n}$ 이 $n + 1$ 개의 변수를 가지는 동차다항식이라고 하자. 그렇다면 $p_{i}^{- 1} (0) \subset P_{k}^{n}$ 은 $n$ 차원 사영 공간 속의 $n - 1$ 차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차수는 $p_{i}$ 들의 차수의 곱과 같다.

i (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) = \prod_{i} \deg p_{i}

증명

x, y에 관한 방정식을 동차좌표로 쓰자.

a_{0} z^{m} + a_{1} z^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} z + a_{m} = 0 .

b_{0} z^{n} + b_{1} z^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} z + b_{n} = 0 .

ai와 bi는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 연립 방정식의 해에 대응된다. 실베스터 행렬(Sylvester matrix)로부터 m=4와 n=3인 경우,

S = (\begin{matrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & 0 & 0 \\ 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & 0 \\ 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix})

2차 다항식의 종결식으로 불리는 $S$ 의 행렬식 $\det S$ 는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다. $\det S$ 의 항들의 차수는 항상 $m n$ 이다. 그래서 $\det S$ 는 x와 y에 대해 차수가 mn인 동차다항식이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대 $m n$ 개의 해를 갖는다.

예

1차 대수 곡선은 직선이다. 따라서, 두 직선의 교차수는 1이다. 만약 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 사영 공간에서 무한대에 위치한 점이다. 예를 들면, 사영 공간에서, x+2y=3과 x+2y=5를 동차다항식으로 표현하면, x+2y-3z=0과 x+2y-5z=0이 된다. 이를 풀면, x=-2y와 z=0을 얻게되고, 동차좌표인 (-2:1:0)을 얻게된다. z좌표가 0이므로 이 점은 무한대에 위치한 점이다.

n차 곡선과 직선의 교차수는 $n$ 이다. 이 특별한 경우는 n차 곡선이 대수학의 기본 정리를 따르기 때문이다. 예를 들어, y=x²인 차수가 2인 포물선과, y=ax인 차수가 1인 직선은 a≠0일 때 정확히 두 점에서 만나고, a=0일 때 중복도가 2인 원점에서 만난다.

2차 대수 곡선은 원뿔 곡선이다. 따라서, 두 원뿔 곡선의 교차수는 4이다. 여기서, 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.

역사

아이작 뉴턴이 《프린키피아》 1권 6부 보조정리 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다. 에티엔 베주가 1779년 출판한 《대수방정식론》(틀:Llang)에서 재발견하였다.

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