동차좌표

틀:위키데이터 속성 추적 사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 틀:Llang)는 $n$차원 사영 공간을 $n+1$개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의

$n$차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. $X$가 실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, $(n+1)$개의 수의 순서쌍의 집합 $X^{n+1}$에 다음과 같은 동치관계를 주자.

$(x_0,x_1,\dots ,x_n)\sim (\lambda x_0,\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$ ($0\ne \lambda \in X$)

그렇다면 $n$차원 사영 공간 $X{P}^n$을 몫공간으로 정의할 수 있다.

$X{P}^n\cong (X^{n+1}\setminus 0)/\sim$

이 경우, $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$을 $X{P}^n$의 동차좌표라고 한다.

성질

동차좌표는 유일하지 않다. 즉, $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$과 $(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

$t_i=x_n/x_0$ ($1\le i\le n$)

을 정의하여 $n$차원 사영 공간을 $n$개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 $x_0=0$인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 $f(x_0,x_1,\dots ,x_n)=0$과 같은 곡면을 정의하려면, $f$는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

• $f(x_0,x_1,\dots ,x_n)=0$이라면, 모든 $\lambda \ne 0$에 대하여 $f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)=0$
• $f(x_0,x_1,\dots ,x_n)\ne 0$이라면, 모든 $\lambda \ne 0$에 대하여 $f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)\ne 0$

만약 $f$가 다항함수라면, $f$는 동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

$f_1(x_0,x_1)=x_0^3+3x_0^2{x}_1-x_0{x}_1^2+2x_1^3$

는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 $f_1=0$을 정의할 수 있지만,

$f_2(x_0,x_1)=x_0^2+3x_0^2{x}_1-x_0{x}_1^2+2x_1^3$

는 동차다항식이 아니므로 곡면 $f_2=0$을 정의할 수 없다.

역사

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.