방멱

그림 1. 방멱의 도해

기하학에서 방멱(方冪, 틀:Llang)은 평면 위의 어떤 점과 원에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.틀:Rp

정의

평면 위에서, 중심이 $O$이고 반지름이 $r$인 원 $\mathrm{\Gamma }$의 점 $P$에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다.

$O{P}^2-r^2$

점원에 대한 방멱

한 점 $O$로 이루어진 집합은 중심이 $O$이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 $O$에 대한 $P$의 방멱은 단순히

$O{P}^2$

이다.틀:Rp

직선에 대한 방멱

직선 $l$은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 $l$에 대한 $P$의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 $P$를 지나는 $l$의 수선의 발이 $A$라고 하고, 직선 $PA$ 위의 점 $O$를 중심으로 하고 $A$를 지나는 원 $\mathrm{\Gamma }$가 직선 $PA$와 두 점 $A,B$에서 만난다고 하자. 그렇다면, $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱과 $\mathrm{\Gamma }$의 지름의 비의 절댓값은

$\left|\frac{O{P}^2-r^2}{2r}\right|=\frac{|OP+r||OP-r|}{2r}=\frac{PA\cdot PB}{AB}$

이다. $A$가 고정되고 $O$와 $B$가 $A$에서 무한히 멀어질 때, $PB$와 $AB$의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 $PA$로 수렴한다. 따라서, 직선 $l$과 점 $P$ 사이의 거리

$d(P,l)$

을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.틀:Rp

성질

평면 위에서 원 $\mathrm{\Gamma }$와 점 $P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

• $P$가 $\mathrm{\Gamma }$ 내부의 점일 필요충분조건은 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱이 양수인 것이다.
• $P$가 $\mathrm{\Gamma }$ 위의 점일 필요충분조건은 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱이 0인 것이다.
• $P$가 $\mathrm{\Gamma }$ 외부의 점일 필요충분조건은 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 $O$이고 반지름이 $r$인 원 $\mathrm{\Gamma }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\mathrm{\Gamma }$에 대한 방멱이 $k$인 점들의 집합은 $k>-r^2$일 경우 중심이 $O$이고 반지름이 $\sqrt{r^2+k}$인 원이며, $k=-r^2$일 경우 점원 $O$이며, $k<-r^2$일 경우 공집합이다.틀:Rp

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$의 근축이라고 부른다.

방멱 정리

평면 위에서 점 $P$를 지나는 직선이 원 $\mathrm{\Gamma }$와 (같을 수 있는) 두 점 $A,B$에서 만나며, $P$를 지나는 또 다른 직선이 $\mathrm{\Gamma }$와 (같을 수 있는) 두 점 $C,D$에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}$

여기서 $\cdot$은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 $O$를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$는 직선 $PAB$의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 $C$에 대한 점 $P$의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.

두 현에 대한 방멱 정리

원 $\mathrm{\Gamma }$의 두 현 $AB$와 $CD$가 $\mathrm{\Gamma }$ 내부의 점 $P$에서 만난다고 하자. 그렇다면,

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

이다. 특히, 이는 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱의 −1배와 같다. 틀:증명 각 $\mathrm{\angle }BAD$와 $\mathrm{\angle }DCB$는 모두 호 $BD$에 대한 원주각이므로,

$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }DCB$

이다. 각 $\mathrm{\angle }APD$와 $\mathrm{\angle }BPC$는 맞꼭지각이므로,

$\mathrm{\angle }APD=\mathrm{\angle }BPC$

이다. 따라서, 삼각형 $\mathrm{△}PDA$와 $\mathrm{△}PBC$는 서로 닮음이며, 따라서

$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$

이다. 틀:증명 끝

두 할선에 대한 방멱 정리

원 $\mathrm{\Gamma }$의 두 현 $AB$와 $CD$의 연장선이 $\mathrm{\Gamma }$ 외부의 점 $P$에서 만난다고 하자. 그렇다면,

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

이다. 특히, 이는 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱과 같다. 틀:증명 편의상 $PA<PB$이고 $PC<PD$라고 하자. 그렇다면 각 $\mathrm{\angle }ABC$와 $ADC$는 호 $AC$에 대한 원주각이므로,

$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC$

이다. 또한 삼각형 $\mathrm{△}PBC$와 $\mathrm{△}PDA$는 각 $\mathrm{\angle }P$를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$

이다. 틀:증명 끝

할선과 접선에 대한 방멱 정리

원 $\mathrm{\Gamma }$의 현 $AB$의 연장선과 $\mathrm{\Gamma }$ 위의 점 $T$에서의 접선 $PT$가 $\mathrm{\Gamma }$ 외부의 점 $P$에서 만난다고 하자. 그렇다면,

$PA\cdot PB=P{T}^2$

이다. 특히, 이는 $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $P$의 방멱과 같다. 틀:증명 편의상 $PA<PB$라고 하자. 그렇다면 각 $\mathrm{\angle }PBT$와 $\mathrm{\angle }PTA$는 각각 호 $AT$에 대한 원주각과 접현각이므로,

$\mathrm{\angle }PBT=\mathrm{\angle }PTA$

이다. 또한 삼각형 $PBT$와 $PTA$는 각 $\mathrm{\angle }P$를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

$\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB}$

이다. 틀:증명 끝

방멱 정리의 역

반대로, 만약 직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고,

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}$

를 만족시킨다면, $A,B,C,D$는 공원점이다.틀:Rp 틀:증명 편의상 $C$가 직선 $AB$ 위의 점이 아니라고 하자. 점 $A,B,C$를 지나는 원 $\mathrm{\Gamma }$가 직선 $CD$와 점 $D^{\prime }$에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{P{D}^{\prime }}$

이므로, $D=D^{\prime }$이다. 틀:증명 끝

원의 직교와의 관계

중심이 $O,O^{\prime }$이고 반지름이 $r,r^{\prime }$인 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{\Gamma }$와 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
• $\mathrm{\Gamma }$에 대한 $O^{\prime }$의 방멱은 ${r^{\prime }}^2$이다.
• ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$에 대한 $O$의 방멱은 $r^2$이다.

역사

'방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.틀:Rp

같이 보기

• 원
• 현
• 할선
• 접선

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드