바탈린-빌코비스키 대수

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학과 수학에서 바탈린-빌코비스키 대수(틀:Llang)는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.

정의

고차 미분 연산자

(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수

$A=\underset{i\in \mathbb{Z}}{⨁}{A}_i$

$ab=(-{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}ba$

가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자

${𝖫}_{a}b=ab$

및 초괄호

$[a,b\}=ab-(-{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}ba$

를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자

$D:A_{\bullet }\to A_{{\bullet }_k}$

$\mathrm{deg}D=k$

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 $n$차 $k$등급 미분 연산자(틀:Llang)라고 한다.

$D(1_A)=0$

$[\dots [[D,{𝖫}_{a_0}\},{𝖫}_{a_1}\},\dots ,{𝖫}_{a_n}\}(1_A)=0\mathrm{\forall }{a}_0,\dots ,a_k\in A$

여기서 초괄호에서 $\mathrm{deg}{𝖫}_a=\mathrm{deg}a$ 및 $\mathrm{deg}D=k$로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우

$D1=0$

인 것이다. 1차 미분 연산자는

$0=[[D,{𝖫}_a\},{𝖫}_b\}1=D(ab)-(-{)}^{k\mathrm{deg}a}a(Db)-(-{)}^{(k+\mathrm{deg}a)\mathrm{deg}b}b(Da)$

인 것이다. 즉,

$D(ab)=(Da)b+(-{)}^{k\mathrm{deg}a}a(Db)$

이며, 이는 곱 규칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 $\mathrm{\Delta }$는

$\mathrm{\Delta }(abc)-\mathrm{\Delta }(ab)c-(-1{)}^{\mathrm{deg}a}a\mathrm{\Delta }(bc)-(-1{)}^{(\mathrm{deg}a+1)\mathrm{deg}b}b\mathrm{\Delta }(ac)+\mathrm{\Delta }(a)bc-(-1{)}^{\mathrm{deg}a}a\mathrm{\Delta }(b)c+(-1{)}^{\mathrm{deg}(ab)}ab\mathrm{\Delta }(c)=0$

를 만족시킨다.

거스틴해버 괄호

등급 가환 결합 대수

$A=\underset{i\in \mathbb{Z}}{⨁}{A}_i$

및 $A$ 위의 사슬 복합체 구조

$\partial :A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}$

${\partial }_1=0$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{\Phi }}^{n+1}(a_0,a_1,\dots ,a_n)=[[\cdots [[\partial ,{𝖫}_{a_0}\},{𝖫}_{a_1}\},\dots \},{𝖫}_{a_n}\}1$

이를 $n+1$항 거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어

${\mathrm{\Phi }}^0()=0$

${\mathrm{\Phi }}^1(a)=\partial a$

${\mathrm{\Phi }}^2(a,b)=\partial (ab)-(-{)}^{\mathrm{deg}a}a\partial b-(\partial a)b$

이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,

$(A,{\mathrm{\Phi }}^{\bullet })$

는 L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약 $\partial$이 $n$차 미분 연산자라면, 오직 ${\mathrm{\Phi }}^1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}^n$만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호(틀:Llang) 또는 반괄호(틀:Llang) $(a,b)$를 정의할 수 있다.

$(a,b)=(-1{)}^{\mathrm{deg}a}{\mathrm{\Phi }}^2(a,b)$

이는 다음과 같은 성질들을 따른다.

• (차수 −1) $\mathrm{deg}(a,b)=\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b-1$
• (등급가환성) $(a,b)=-(-1{)}^{(\mathrm{deg}a+1)(\mathrm{deg}b+1)}(b,a)$
• (등급 야코비 항등식) $(-1{)}^{(\mathrm{deg}a+1)(\mathrm{deg}c+1)}(a,(b,c))+(-1{)}^{(\mathrm{deg}b+1)(\mathrm{deg}a+1)}(b,(c,a))+(-1{)}^{(\mathrm{deg}c+1)(\mathrm{deg}b+1)}(c,(a,b))=0$
• (등급 라이프니츠 규칙) $(ab,c)=a(b,c)+(-1{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}b(a,c)$

바탈린-빌코비스키 대수

바탈린-빌코비스키 대수 $(A,\mathrm{\Delta })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• 등급 가환 결합 대수 $A=\underset{i\in \mathbb{Z}}{⨁}{A}_i$
• $A$ 위의 2차 −1등급 미분 연산자 $\mathrm{\Delta }:A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}$. 이를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다.

게이지 이론의 양자화

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 ${\varphi }^i$와 고전적 작용 $S_0(\varphi )$에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

$\delta {\varphi }^i=R_{{\alpha }_1}^i{ϵ}^{{\alpha }_1}$

여기서 ${ϵ}^{i_1}$는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

$R_{i_{p+1}}^{i_p}{R}_{i_p}^{i_0}=C_{{\alpha }_{p+1}}^{ij}\frac{\delta S_0}{\delta {\varphi }^{j_0}}$

이다. 여기서 $C_{{\alpha }_{p+1}}^{ij}$는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은

• 1차 게이지 변환 $\delta {\varphi }^i/\delta {ϵ}^{{\alpha }_1}$
• 2차 게이지 변환 $\delta {ϵ}^{{\alpha }_1}/\delta {ϵ}^{{\alpha }_2}$
• 3차 게이지 변환 $\delta {ϵ}^{{\alpha }_2}/\delta {ϵ}^{{\alpha }_3}$

등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 $\delta /\delta {ϵ}^{{\alpha }_p}$에 대응하는 유령장 $c^{{\alpha }_p}$을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 ${\varphi }^i$에 대응하는 반대장(反對場, 틀:Llang) ${\varphi }_i^{*}$, $c_{{\alpha }_p}^{*}$를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, 틀:Llang)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, $p$차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 $p$, 그리고 유령수 $g$에 대응하는 반대장은 유령수 $-g-1$을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

장	기호	통계 $\sigma ({\mathrm{\Phi }}^A)$ (+1: 보손, −1: 페르미온)	유령수 $\mathrm{deg}{\mathrm{\Phi }}^A$
물리적 장	${\varphi }^i$	$\sigma ({\varphi }^i)$ (보손: +1, 페르미온: −1)	0
물리적 반대장	${\varphi }_i^{*}$	$-\sigma ({\varphi }^i)$	−1
유령장	$c^{{\alpha }_p}$	$-\sigma ({ϵ}^{{\alpha }_p})$ (일반 대칭: −1, 초대칭: +1)	$p$
유령 반대장	$c_{{\alpha }_p}^{*}$	$\sigma ({ϵ}^{{\alpha }_p})$	$-p-1$

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

Δ 연산자와 거스틴해버 괄호

모든 장들을 통칭해

${\mathrm{\Phi }}^A=({\varphi }^i,c^{{\alpha }_p})$

${\mathrm{\Phi }}_A^{*}=({\varphi }_i^{*},c_{{\alpha }_p}^{*})$

로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

$\mathrm{\Delta }=(-1{)}^{\sigma ({\mathrm{\Phi }}^A)}\frac{{\delta }^L}{\delta {\mathrm{\Phi }}^A}\frac{{\delta }^L}{\delta {\mathrm{\Phi }}_A^{*}}$

또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.

$(X,Y)=\frac{{\delta }^{R}X}{\delta {\mathrm{\Phi }}^A}\frac{{\delta }^{L}Y}{\delta {\mathrm{\Phi }}_A^{*}}-\frac{{\delta }^{R}X}{\delta {\mathrm{\Phi }}_A^{*}}\frac{{\delta }^{L}Y}{\delta {\mathrm{\Phi }}^A}.$

이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 ${\delta }^L/\delta {\mathrm{\Phi }}^A$와 ${\delta }^R/\delta {\mathrm{\Phi }}^A$는 각각 좌·우미분이다.

고전 으뜸 방정식

고전적 작용 $S_0({\varphi }^i)$는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

$S=S_0+S_1+S_2+\dots$

여기서 $S_p$는 $p$개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, $S$의 유령수는 0이다.

$\mathrm{deg}S=0$

이렇게 교정된 작용 $S$는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식(틀:Llang)을 만족시킨다.

$(S,S)=0$

이로부터 $S$를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭은

${\delta }_{\text{BRST}}=(S,\cdot )$

의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

${\delta }_{\text{BRST}}S=(S,S)=0$

이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

${\delta }_{\text{BRST}}^2=0$임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

$H^p({\delta }_{\text{BRST}})$

를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 $H^0({\delta }_{\text{BRST}})$의 원소이다. 고전적인 연산자 $O_0$가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

$O=O_0+O_1+O_2+\cdots$

${\delta }_{\text{BRST}}O=(S,O)=0$

게이지 고정

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 $\psi$를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온(틀:Llang)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{\Phi }}_A^{*}\mapsto \frac{\delta \psi }{\delta {\mathrm{\Phi }}^A}$

작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.틀:Rp

양자 으뜸 방정식

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은

$\mathrm{\Delta }S=0$

이다.틀:Rp 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 $\hslash$에 비례하게 된다. 즉, $S={\hat{S}}^{(0)}$으로 놓으면,

$\hat{S}={\hat{S}}^{(0)}+\hslash S^{(1)}+{\hslash }^2{S}^{(2)}+\cdots$

이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식(틀:Llang)은

$\mathrm{\Delta }(\exp (i\hat{S}/\hslash ))=0$

이다.틀:Rp 다음 표현은 위와 동치이다.

$(\hat{S},\hat{S})=2i\hslash \mathrm{\Delta }\hat{S}$

이다. 이를 전개하면

$({\hat{S}}^{(0)},{\hat{S}}^{(0)})=0$

$({\hat{S}}^{(0)},{\hat{S}}^{(1)})=i\mathrm{\Delta }{\hat{S}}^{(0)}$

$({\hat{S}}^{(0)},{\hat{S}}^{(2)})+\frac{1}{2}({\hat{S}}^{(1)},{\hat{S}}^{(1)})=i\mathrm{\Delta }{\hat{S}}^{(1)}$

등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 $X$를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.틀:Rp 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

$\int \exp (iS/\hslash )$

를 고려하면 양자 으뜸 방정식

$\mathrm{\Delta }\exp (iS/\hslash )=0$

이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 $O$가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

$(W,O)=i\hslash \mathrm{\Delta }O$

가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, $\exp (iS/\hslash )$를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 $D\mathrm{\Phi }$를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, $D\mathrm{\Phi }\exp (iS/\hslash )$는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 $\mathrm{\Delta }$이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 $N$ 위의 적분은

$\underset{N}{\int }\mathrm{\Delta }X=0$

이고, 또한 만약 $\mathrm{\Delta }Y=0$이라면

$\underset{N}{\int }Y$

는 $N$의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, $N$의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 $D\mathrm{\Phi }O\exp (iS/\hslash )$가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

예

양-밀스 이론

로런츠 지표는 $\mu ,\nu ,\dots$로, 게이지 리 대수 지표는 $a,b,\dots$로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 $A_{\mu }^a$는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

$\delta A_{\mu }^a={\partial }_{\mu }{ϵ}^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{ϵ}^c$

따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 $c^a$ 및 반대장 ${\varphi }_a^{*}$, $c_a^{*}$가 존재한다. 작용

$S_0=-\frac{1}{4}\int d^{d}x{F}^2$

에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.틀:Rp

$S=S_0+\int d^{d}x{A}_a^{*\mu }{D}_{\mu }{c}^a+\frac{1}{2}\int d^{d}x{c}_a^{*}{f}^a{}_{bc}{c}^b{c}^c$

게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 ${\overline{c}}_a$와 유령수 0의 보손 $b_a$를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.틀:Rp

$S^{\prime }=S-i\int d^{d}x{\overline{c}}^{*a}{b}_a$

그렇다면 게이지 고정 페르미온

$\psi =i\int d^{d}x{\overline{c}}_a({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a+\xi b^a/2)$

를 삽입한다. 여기서 $\xi$는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

$S=\int d^{d}x(-\frac{1}{4}{F}^2-i{\partial }^{\mu }{\overline{c}}_a{D}_{\mu }{c}^a+({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a+\xi b^a/2)b_a)$

장	기호	통계	유령수
게이지 장	$A_{\mu }^a$	+	0
게이지 반대장	$A_a^{*\mu }$	−	−1
유령장	$c^a$	−	1
유령 반대장	$c_a^{*}$	+	−2
보조장	$b_a$	+	0
보조 반대장	$b_a^{*}$	−	−1
보조 유령장	${\overline{c}}^a$	−	−1
보조 유령 반대장	${\overline{c}}_a^{*}$	+	0

미분형식 전기역학

p차 미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 $A^{(p)}$는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

$\frac{\delta A^{(p)}}{\delta {ϵ}^{(p-1)}}=d{ϵ}^{(p-1)}$

$\frac{\delta {ϵ}^{(p-1)}}{\delta {ϵ}^{(p-2)}}=d{ϵ}^{(p-2)}$

⋮

$\frac{\delta {ϵ}^{(1)}}{\delta {ϵ}^{(0)}}=d{ϵ}^{(0)}$

여기서 ${ϵ}^{(k)}$는 $k$차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

장	기호	통계	유령수
게이지 장	$A^{(p)}$	+	0
유령장	$c^{(k)}$	−	p−k
게이지 반대장	$A^{*(p)}$	−	−1
유령 반대장	$c^{*(k)}$	+	k−p−1

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.틀:Rp

$S=\int d^{d}x(-\frac{1}{2}{F}^{(p+1)}\wedge *F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge d{c}^{(p-1)}+\sum _{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge d{c}^{(k)})$

역사

이고리 아니톨리예비치 바탈린(틀:Llang)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(틀:Llang)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

같이 보기

• 거스틴해버 대수

각주

• 틀:저널 인용
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외부 링크

• 틀:웹 인용
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