무어-펜로즈 유사역행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 무어-펜로즈 유사역행렬(Moore-Penrose疑似逆行列, 틀:Llang)은 모든 모양의 행렬에 대하여 정의되는 연산이며, 가역 행렬의 역행렬 연산을 일반화한다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp 특잇값 분해를 통해 계산할 수 있다.

정의

체 $K$가 주어졌다고 하고, 그 위의 체의 대합

$\overline{a}:K\to K$

$\overline{a}\circ \overline{a}={\mathrm{id}}_K$

이 주어졌다고 하자. (예를 들어, 복소수체의 복소켤레 등이 있다. 이를 항등 함수로 놓을 수도 있다.) 그렇다면, $K$ 계수 행렬의 에르미트 수반

$(-{)}^{*}:\mathrm{Mat}(m,n;K)\to \mathrm{Mat}(n,m;K)$

의 개념이 정의된다.

임의의 $K$계수 $m\times n$ 행렬

$A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$

의 무어-펜로즈 유사역행렬

$A^{+}\in \mathrm{Mat}(n,m;K)$

은 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 행렬이다.

• $A{A}^{+}A=A$
  • 즉, 틀:Math는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, 틀:Math의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.
• $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$
  • 즉, 틀:Math는 반군에서의 약한 역이다.
• $(A{A}^{+}{)}^{*}=A{A}^{+}$
  • 즉, 틀:Math는 에르미트 행렬이다.
• $(A^{+}A{)}^{*}=A^{+}A$
  • 즉, 틀:Math도 에르미트 행렬이다.

성질

존재와 유일성

무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 $A$에 대하여, 무어-펜로즈 유사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 $A^{+}$는 반드시 정확히 한 개 존재한다.

반면, 이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다.

연산과의 호환

무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 전치 행렬 연산 · 성분별 켤레 · 켤레전치와 교환 법칙을 따른다.

$(A^{\mathrm{\top }}{)}^{+}=(A^{+}{)}^{\mathrm{\top }}$

$(\overline{A}{)}^{+}=\overline{A^{+}}$

$(A^{*}{)}^{+}=(A^{+}{)}^{*}$

행렬 $A$에 스칼라를 곱한 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 $A^{+}$를 그 스칼라로 나눈 것과 같다.

$(\alpha A{)}^{+}={\alpha }^{-1}{A}^{+}\mathrm{\forall }A\in \mathrm{Mat}(m,n;K),\alpha \in K^{\times }$

무어-펜로즈 유사역행렬은 스스로의 역함수이다.

$(A^{+}{)}^{+}=A\mathrm{\forall }A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$

행렬 곱셈과의 호환

무어-펜로즈 유사역행렬은 (역행렬 연산과 달리) 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 못한다. 다만, 호환을 보장하는 충분 조건들이 존재한다.

구체적으로, 임의의 두 행렬

$A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$

$B\in \mathrm{Mat}(n,p;K)$

이 주어졌으며, 다음 네 조건 가운데 적어도 하나 이상이 성립한다고 하자.

• $A^{*}A=1_{n\times n}$이다.
• $B{B}^{*}=1_{n\times n}$이다.
• $A$의 열벡터들은 모두 서로 선형 독립이며, 또한 $B$의 행벡터들도 모두 서로 선형 독립이다.
• $A=B^{*}$이다.

그렇다면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.

$(AB{)}^{+}=B^{+}{A}^{+}$

그러나 이는 임의의 행렬에 대하여 성립하지 않는다.

대수적 표현

$A^{+}$는 모든 행렬 $A$에 대하여 항상 유일하게 존재하지만, 일부 경우 이는 간단한 대수적 공식을 갖는다.

구체적으로, 만약 $A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$의 열벡터가 모두 $K$-선형 독립이라면, $A^{*}A\in \mathrm{Mat}(n,n;K)$는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

$A^{+}=(A^{*}A{)}^{-1}{A}^{*}$

이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 좌측 역행렬이라고 하는데, $A^{+}A=I$가 성립하기 때문이다.

반대로, $A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$의 행벡터가 모두 $K$-선형 독립인 경우, $A{A}^{*}\in \mathrm{Mat}(m,m;K)$는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

$A^{+}=A^{*}(A{A}^{*}{)}^{-1}$

이러한 경우에는 $A{A}^{+}=I$가 성립하므로, $A^{+}$를 우측 역행렬이라고 부른다.

물론, $A$의 열벡터와 행벡터 모두 $K$-선형 독립인 경우는 $A$ 및 $A^{*}$가 가역 행렬이며, 이 경우

$A^{+}=(A^{*}A{)}^{-1}{A}^{*}=A^{*}(A{A}^{*}{)}^{-1}=A^{-1}$

이다.

특잇값 분해로의 표현

행렬 $A\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$가 다음과 같은 특잇값 분해를 갖는다고 하자.

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

$U\in \mathrm{U}(m;K)$

$V\in \mathrm{U}(n;K)$

$\mathrm{\Sigma }={\mathrm{diag}}_{m,n}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{\min \{m,n\}})\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$

그렇다면, $A$의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

$A^{+}=V{\mathrm{\Sigma }}^{+}{U}^{*}=V{\mathrm{diag}}_{n,m}({\lambda }_1^{+},\dots ,{\lambda }_{\min \{m,n\}}^{+})U^{*}$

여기서, $\lambda \in K$에 대하여

${\lambda }^{+}=\{\begin{array}{cc}{\lambda }^{-1}& \lambda \ne 0\\ 0& \lambda =0\end{array}$

이다.

예

가역 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬이다.

$\mathrm{\exists }{A}^{-1}⟹A^{+}=A^{-1}$

1×1 행렬

$1\times 1$ 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

${\left(\begin{array}{c}\lambda \end{array}\right)}^{+}=\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}{\lambda }^{-1}\end{array}\right)& \lambda \ne 0\\ \left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)& \lambda =0\end{array}$

대각 행렬

직사각형 대각 행렬

${\mathrm{diag}}_{m,n}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{\min \{m,n\}})\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$

의 경우, 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

${\mathrm{diag}}_{m,n}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{\min \{m,n\}}{)}^{+}={\mathrm{diag}}_{n,m}({\lambda }_1^{+},{\lambda }_2^{+},\dots ,{\lambda }_{\min \{m,n\}}^{+})\in \mathrm{Mat}(n,m;K)$

여기서 ${\lambda }_i^{+}$는 1×1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬(즉, 가역원일 경우 역원, 0일 경우 0)이다.

특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 전치 행렬인 영행렬이다.

$0_{m,n}^{+}=0_{m,n}$

응용

무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 선형연립방정식에서 최소제곱법에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유클리드 노름을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 무어-펜로즈 유사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.

역사

1920년에 일라이어킴 헤이스팅스 무어가 최초로 발견하였다. 이후 아르네 볘르함마르(틀:Llang, 1917〜2011)와 로저 펜로즈가 이 개념을 1950년대에 재발견하였다.

같이 보기

• 역원
• 절대평탄환

외부 링크

• 틀:매스월드