데데킨트 에타 함수

데데킨트 에타 함수의 그래프

수학에서 데데킨트 에타 함수(틀:Lang)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타$\eta (\tau )$

정의

열린 상반평면을 $ℍ$라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 $\eta :ℍ\to ℂ$는 다음과 같은 함수이다.

$\eta (\tau )=\exp (\pi i\tau /12)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\exp (2n\pi i\tau ))$.

보통 $q(\tau )=\exp (2\pi i\tau )$를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$.

성질

데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.

함수 방정식

데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 ${\mathrm{\Gamma }}_0(1)$에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.

$\eta (\tau +1)=\exp (\pi i/12)\eta (\tau )$

$\eta (-1/\tau )=\sqrt{-i\tau }\eta (\tau )$.

보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환

$\tau \mapsto \frac{a\tau +b}{c\tau +d}$ ($ad-bc=1$, $c\ge 0$)

에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d)(c\tau +d{)}^{\frac{1}{2}}\eta (\tau )$.

여기서

$ϵ(a,b,c,d)=\exp (i\pi b/12)$ ($c=0,d=1$인 경우)

$ϵ(a,b,c,d)=\exp \left(i\pi ((a+d)/(12c)-s(d,c)-1/4)\right)$ ($c>0$인 경우)

여기서

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2})$

를 데데킨트 합(틀:Lang)이라고 한다.

특별한 값

함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.

$\eta (i)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4)}{2{\pi }^{3/4}}$

$\eta (i/2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4)}{2^{7/8}{\pi }^{3/4}}$

$\eta (2i)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4)}{2^{11/8}{\pi }^{3/4}}$

$\eta (4i)=\frac{\sqrt[4]{-1+\sqrt{2}}\mathrm{\Gamma }(1/4)}{2^{29/16}{\pi }^{3/4}}$

여기서 $\mathrm{\Gamma }(1/4)\approx 3.626$는 감마 함수이다.

같이 보기

• 데데킨트 제타 함수

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:수학노트