야코비 타원함수

sn(u)의 그래프. 붉은 선은 $m=0.05^2$, 녹색 선은 $m=1.05^2$이다.

cn(u)의 그래프. 붉은 선은 $m=0.05^2$, 녹색 선은 $m=1.05^2$이다.

dn(u)의 그래프. 붉은 선은 $m=0.25^2$, 녹색 선은 $m=1.05^2$이다.

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 틀:Llang)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 $(u,m)$에 대한 함수이다. 여기서 $0\le m\le 1$이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

$u=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}$

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{sn}(u;m)=\sin \varphi$

$\mathrm{cn}(u;m)=\cos \varphi$

$\mathrm{dn}(u;m)=\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }$

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 $k=\sqrt{m}$ 또는 $\alpha =\arcsin \sqrt{m}$을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 $0\le k\le 1$, $0\le \alpha \le \pi /2$이다.

타원과의 관계

긴 반지름이 $a\ge 1$이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

$x^2/a^2+y^2=1$

이들을 극좌표계 $(r,\theta )=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan (x/y))$로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

$x=x(\theta )$

$y=y(\theta )$

$r=r(\theta )=\sqrt{x(\theta {)}^2+y(\theta {)}^2}$

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

$u=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}r(\varphi )d\varphi$

그렇다면, $u$의 함수로서 $x$, $y$, $r$은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

$\mathrm{cn}(u)=x(\theta )/a$

$\mathrm{sn}(u)=y(\theta )$

$\mathrm{dn}(u)=r(\theta )/a$

이 경우, $m$은 타원의 이심률의 제곱이다.

$m=k^2=1-1/a^2$

보조 야코비 타원함수

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

	sn(u)	cn(u)	dn(u)
1	ns(u)=1/sn(u)	nc(u)=1/cn(u)	nd(u)=1/dn(u)
sn(u)	1	sc(u)=sn(u)/cn(u)	sd(u)=sn(u)/dn(u)
cn(u)	cs(u)=cn(u)/sn(u)	1	cd(u)=cn(u)/dn(u)
dn(u)	ds(u)=dn(u)/sn(u)	dc(u)=dn(u)/cn(u)	1

성질

주기성

야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. $f$가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

$f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4i{K}^{\prime }(m);m)$

여기서 $K(m)$과 $K^{\prime }(m)$은 각각 실사분주기(틀:Llang)와 허사분주기(틀:Llang)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

$K(m)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}$

$K^{\prime }(m)=K(1-m)$

즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 $ℂ/{\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}\{4K(m),4i{K}^{\prime }(m)\}$ 위에 정의된 유리형 함수이다.

극점과 영점

sn, cn, dn 모두

$u=i{K}^{\prime }(m)$

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

$\mathrm{sn}(0;m)=0$

$\mathrm{cn}(K(m);m)=0$

$\mathrm{dn}(K(m)+i{K}^{\prime }(m);m)=0$

삼각함수·쌍곡함수와의 관계

$m=0$일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

$\mathrm{sn}(u;0)=\sin u$

$\mathrm{cn}(u;0)=\cos u$

$\mathrm{dn}(u;0)=1$

반대로, $m=1$일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

$\mathrm{sn}(u;1)=\tanh u$

$\mathrm{cn}(u;1)=\mathrm{dn}(u;1)=\frac{1}{\cosh u}$

항등식

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

${\mathrm{sn}}^2(u;m)+{\mathrm{cn}}^2(u;m)=1$

$m{\mathrm{sn}}^2(u;m)+{\mathrm{dn}}^2(u;m)=1$

합 공식

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{cn}(x+y)& =\frac{\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)-\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},\\ \mathrm{sn}(x+y)& =\frac{\mathrm{sn}(x)\mathrm{cn}(y)\mathrm{dn}(y)+\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{dn}(x)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},\\ \mathrm{dn}(x+y)& =\frac{\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)-k^2\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)}.\end{array}$

미분

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{sn}z=\mathrm{cn}z\mathrm{dn}z$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{cn}z=-\mathrm{sn}z\mathrm{dn}z$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{dn}z=-m\mathrm{sn}z\mathrm{cn}z$

역사

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(틀:Llang)에서 도입하였다.

같이 보기

• 세타 함수
• 바이어슈트라스 타원함수
• 타원 적분
• 타원곡선

외부 링크

• 틀:Springer
• 틀:매스월드