디리클레 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 디리클레 함수(틀:Llang)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

정의

디리클레 함수 $1_{\mathbb{Q}}:ℝ\to \{0,1\}$는 다음과 같다.

$1_{\mathbb{Q}}(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}(m!\pi x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

여기서 $m!$는 계승, $\cos$는 코사인, $\mathbb{Q}$와 $ℝ\setminus \mathbb{Q}$는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 $1_{\mathbb{Q}}$는 베르 2급 함수이다. 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다. 틀:증명 만약 $x\in \mathbb{Q}$라면, $x=\frac{a}{b}$인 $a,b\in \mathbb{Z}$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 $m\ge b$에 대하여, $m!x\in \mathbb{Z}$이므로, $\cos (m!\pi x)\in \{-1,1\}$이다. 따라서,

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}(m!\pi x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }1=1$

이다.

만약 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$라면, 임의의 $m\ge 0$에 대하여 $m!x\notin \mathbb{Z}$이므로, $\cos (m!\pi x)\in (-1,1)$이다. 따라서,

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}(m!\pi x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }0=0$

이다. 틀:증명 끝

성질

주기성

디리클레 함수 $1_{\mathbb{Q}}$는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다. 틀:증명 임의의 $t\in \mathbb{Q}$ 및 $x\in ℝ$에 대하여, $1_{\mathbb{Q}}(x+t)=1_{\mathbb{Q}}(x)$임을 보이면 된다. 만약 $x\in \mathbb{Q}$라면, $x+t\in \mathbb{Q}$이므로,

$1_{\mathbb{Q}}(x+t)=1=1_{\mathbb{Q}}(x)$

이다. 만약 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$라면, $x+t\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$이므로,

$1_{\mathbb{Q}}(x+t)=0=1_{\mathbb{Q}}(x)$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, $t_0\in {\mathbb{Q}}^{+}$가 $1_{\mathbb{Q}}$의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, $\frac{t_0}{2}\in {\mathbb{Q}}^{+}$ 역시 $1_{\mathbb{Q}}$의 양의 주기이며, $\frac{t_0}{2}<t_0$이다. 이는 $t_0$이 최소 양의 주기인 것과 모순이다. 틀:증명 끝

연속성

디리클레 함수 $1_{\mathbb{Q}}$는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 $x\in ℝ$에 대하여,

$\underset{y\to x}{\mathrm{lim\; sup}}{1}_{\mathbb{Q}}(y)=1$

$\underset{y\to x}{\mathrm{lim\; inf}}{1}_{\mathbb{Q}}(y)=0$

이기 때문이다. 틀:증명 임의의 $x\in ℝ$에 대하여, $x$로 수렴하는 유리수 수열 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$과 무리수 수열 $(y_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$을 취할 수 있다. 그렇다면

$1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{1}_{\mathbb{Q}}(x_n)\le \underset{y\to x}{\mathrm{lim\; sup}}{1}_{\mathbb{Q}}(y)\le \underset{y\in ℝ}{\sup }{1}_{\mathbb{Q}}(y)=1$

$0=\underset{y\in ℝ}{\inf }{1}_{\mathbb{Q}}(y)\le \underset{y\to x}{\mathrm{lim\; inf}}{1}_{\mathbb{Q}}(y)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{1}_{\mathbb{Q}}(y_n)=0$

이다. 틀:증명 끝

적분

디리클레 함수 $1_{\mathbb{Q}}$는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.

$\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{1}_{\mathbb{Q}}(x)dx=b-a$

$\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{1}_{\mathbb{Q}}(x)dx=0$

그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은

$\underset{ℝ}{\int }{1}_{\mathbb{Q}}d\mu =0$

이다. 틀:증명 임의의 닫힌구간 $[a,b]$ 및 임의의 분할

$P=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}(a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b)$

에 대하여, 각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

$\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }{1}_{\mathbb{Q}}(x)=1$

$\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }{1}_{\mathbb{Q}}(x)=0$

이다. 따라서 $P$에 대한 리만 상합과 리만 하합은

$U(1_{\mathbb{Q}},P)=\sum _{i=1}^n\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }{1}_{\mathbb{Q}}(x)\cdot (x_i-x_{i-1})=b-a$

$L(1_{\mathbb{Q}},P)=\sum _{i=1}^n\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }{1}_{\mathbb{Q}}(x)\cdot (x_i-x_{i-1})=0$

이며, 그 상적분과 하적분은

$\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{1}_{\mathbb{Q}}(x)dx=\underset{P}{\inf }U(1_{\mathbb{Q}},P)=\underset{P}{\inf }(b-a)=b-a$

$\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{1}_{\mathbb{Q}}(x)dx=\underset{P}{\sup }L(1_{\mathbb{Q}},P)=\underset{P}{\sup }0=0$

이다.

유리수의 집합 $\mathbb{Q}$는 가산 집합이므로, 실수선 $ℝ$ 위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 $1_{\mathbb{Q}}$는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

$\underset{ℝ}{\int }{1}_{\mathbb{Q}}d\mu =\mu (\mathbb{Q})=0$

이다. 이에 따라 $1_{\mathbb{Q}}$는 르베그 적분 가능하다. 틀:증명 끝

역사

독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.

같이 보기

• 토메 함수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드