토메 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 토메 함수(틀:Llang)는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

정의

토메 함수 $f:ℝ\to ℝ$는 다음과 같다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q}& x=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},\gcd \{p,q\}=1,q>0\\ 0& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

성질

연속성

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 $x\in ℝ$에 대하여,

$\underset{y\to x}{\lim }f(y)=0$

이기 때문이다. 틀:증명 임의의 $x\in ℝ$ 및 $ϵ>0$에 대하여, $\frac{1}{n}<ϵ$인 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$를 취하자. 분모가 $\{1,\dots ,n\}$에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을

$A=\mathbb{Z}\cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}\cup \cdots \cup \frac{1}{n}\mathbb{Z}$

라고 하자. 그렇다면, $A$ 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 $\frac{1}{n^2}$ 이상이므로, $A$는 극한점을 갖지 않는다. 특히, $x$는 $A$의 극한점이 아니므로,

$((x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta ))\cap A=\varnothing$

인 $\delta >0$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 $y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )$에 대하여, $y$는 무리수이거나, $y$는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 $n$보다 큰 유리수이므로,

$|f(y)|=f(y)<\frac{1}{n}<ϵ$

이다.

만약 $x\in \mathbb{Q}$라면

$\underset{y\to x}{\lim }f(y)=0\ne f(x)$

이므로 $x$에서 불연속이다. 만약 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$라면

$\underset{y\to x}{\lim }f(y)=0=f(x)$

이므로 $x$에서 연속이다. 틀:증명 끝

극댓값

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다. 틀:증명 임의의 $x\in \mathbb{Q}$에 대하여,

$\underset{y\to x}{\lim }f(y)=0$

$f(x)>0$

이므로,

$f(y)<f(x)\mathrm{\forall }y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )$

인 $\delta >0$가 존재한다. 틀:증명 끝

미분

토메 함수 $f$는 모든 점에서 미분 불가능이다. 틀:증명 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다.

이제, 임의의 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$에 대하여, $x$의 소수점 표기를

$x=x_0.x_1{x}_2\cdots$

라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열 $(y_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \mathbb{Q}$을 취하자.

$y_n=x_0.x_1{x}_2\cdots x_n$

그렇다면, $(y_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 $x$로 수렴하며, 임의의 $n\ge 0$에 대하여,

$\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|=\frac{f(y_n)}{0.0\cdots 0x_{n+1}{x}_{n+2}\cdots }\ge \frac{1/10^n}{1/10^n}=1$

이다. 따라서

$\underset{y\to x}{\mathrm{lim\; sup}}\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|\ge 1$

이다. 반면, $x$로 수렴하는 임의의 무리수 수열 $(z_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq ℝ\setminus \mathbb{Q}$을 취했을 경우, 임의의 $n\ge 0$에 대하여,

$\left|\frac{f(z_n)-f(x)}{z_n-x}\right|=0$

이므로,

$\underset{y\to x}{\mathrm{lim\; inf}}\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{f(z_n)-f(x)}{z_n-x}\right|=0$

이다. 따라서, 극한

$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$

은 존재하지 않는다. 틀:증명 끝

적분

토메 함수 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한,

$\underset{ℝ}{\int }f(x)dx=0$

이다. 틀:증명 $f$의 불연속점의 집합 $\mathbb{Q}$는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 $f$의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,

$\underset{ℝ}{\int }f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=0$

이다. 틀:증명 끝

역사

카를 요하네스 토메(틀:Llang)의 이름을 땄다.

같이 보기

• 칸토어 함수
• 디리클레 함수

참고 문헌

• Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. 틀:ISBN
• Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. 틀:ISBN
• Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. 틀:ISBN

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드