올적분

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서, 올적분(-積分, 틀:Llang, 틀:Lang)은 미분 형식 및 드람 코호몰로지에 대하여 정의되는, 올다발의 전체 공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류를 그 밑공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류에 대응시키는 사상이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $B$ 위의 매끄러운 올다발 $\pi :E\twoheadrightarrow B$. 또한, 그 올이 $m$차원 콤팩트 유향 다양체라고 하자.
• 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^{k+m}(E)$

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

${\beta }_{v_1,\dots ,v_k}\in {\mathrm{\Omega }}^m({\pi }^{-1}(\pi (e)))\mathrm{\forall }e\in E,v_1,\dots ,v_k\in {\mathrm{T}}_{e}E$

${\beta }_{v_1,\dots ,v_k}(w_1,\dots ,w_m)=\alpha (w_1,\dots ,w_m,v_1,\dots ,v_k)$

${\pi }_{!}\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(B)$

$({\pi }_{!}\alpha )(v_1,v_2,\dots ,v_k)=\underset{{\pi }^{-1}(b)}{\int }{\beta }_{v_1,\dots ,v_k}\mathrm{\forall }e\in E,v_1,\dots ,v_k\in {\mathrm{T}}_{e}E$

스토크스 정리에 따라서, 올이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체이므로, 이는 드람 코호몰로지의 사상

${\pi }_{!}:{\mathrm{H}}^{\bullet +m}(E;ℝ)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(B;ℝ)$

을 정의한다. 이를 미분 형식 또는 드람 코호몰로지류의 올적분이라고 한다.

예

함수 공간

$E={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X,Y)$

을 생각하고, $\dim X=n$이라고 하고, $X$가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 자연스러운 함수

$\mathrm{ev}:E\times X\to Y$

가 존재한다. 이 경우, $Y$ 위의 $k$차 미분 형식

$\alpha ={\alpha }_{i_1\dots i_k}\mathrm{d}{y}^{i_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{y}^{i_k}$

가 주어졌다면,

${\mathrm{ev}}^{*}\alpha {|}_{f,x}={\alpha }_{i_1\dots i_k}(f(x))(\mathrm{d}f(x{)}^{i_1}+{\partial }_{{\mu }_1}{\varphi }^{i_1}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1})\wedge (\mathrm{d}f(x{)}^{i_k}+{\partial }_{{\mu }_k}{\varphi }^{i_k}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_k})\in {\mathrm{\Omega }}^k(E\times X)$

를 정의할 수 있다. 올적분을 취하여, $E$ 위의 $k-n$차 미분 형식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\underset{X}{\int }{\alpha }_{i_1\dots i_k}(f(x)){\partial }_{{\mu }_1}{\varphi }^{i_1}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge {\partial }_{{\mu }_n}{\varphi }^{i_n}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_n}\wedge \mathrm{d}f(x{)}^{i_{1+n}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}f(x{)}^{i_k}\in {\mathrm{\Omega }}^{k-\dim X}(E)$

외부 링크

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