대칭 중선

대칭 중선과 대칭 중점

기하학에서 대칭 중선(對稱中線, 틀:Llang)은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 대칭 중점(對稱中點, 틀:Llang) 또는 르무안 점(틀:Llang) 또는 그레베 점(틀:Llang)은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다.

정의

삼각형 $ABC$의 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$을 지나는 중선의, 내각 $\mathrm{\angle }A$, $\mathrm{\angle }B$, $\mathrm{\angle }C$의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.

성질

직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.틀:Rp

대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다.틀:Rp 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$라고 하고, 넓이를 $S$라고 하고, 브로카르 각을 $\omega$라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 $K$와 세 변 $BC$, $AC$, $AB$ 사이의 거리는 다음과 같다.틀:Rp

$d(K,BC)=\frac{1}{2}a\tan \omega =\frac{2aS}{a^2+b^2+c^2}$

$d(K,AC)=\frac{1}{2}b\tan \omega =\frac{2bS}{a^2+b^2+c^2}$

$d(K,AB)=\frac{1}{2}c\tan \omega =\frac{2cS}{a^2+b^2+c^2}$

삼각형 $ABC$의 대칭 중선 $A{K}_A$, $B{K}_B$, $C{K}_C$의 발을 $K_A$, $K_B$, $K_C$라고 하고, 대칭 중점을 $K$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp

$\frac{AK}{K{K}_A}=\frac{b^2+c^2}{a^2}$

$\frac{BK}{K{K}_B}=\frac{a^2+c^2}{b^2}$

$\frac{CK}{K{K}_C}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$을 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 그렇다면 $A$, $B$, $C$을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 $H_B{H}_C$, $H_A{H}_C$, $H_A{H}_B$를 이등분한다.틀:Rp

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 $B$, $C$에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다.틀:Rp 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다. 틀:증명 외접원의 $B$, $C$에서의 접선의 교점을 $D$라고 하자. $D$를 중심으로 하고 $DB$를 반지름으로 하는 원이 $AB$, $AC$의 연장선과 각각 $E$, $F$에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로

$\mathrm{\angle }E=\mathrm{\angle }DBE=\mathrm{\angle }ACB$

$\mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }DCF=\mathrm{\angle }ABC$

이다. 또한 사각형 $AEDF$에서

$\mathrm{\angle }EDF=360^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }E-\mathrm{\angle }F=180^{\circ }$

이므로 $E$, $D$, $F$는 공선점이다. 따라서 삼각형 $AEF$는 삼각형 $ACB$와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 $AEF$를 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 $A$를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 $ACB$를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. $A$를 지나는 직선은 $A$를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 $AD$의 상은 자신의 등각 켤레선이다. $AD$는 삼각형 $AEF$의 중선이므로 $AD$의 등각 켤레선은 삼각형 $ACB$의 중선이다. 즉, $AD$는 삼각형 $ACB$의 대칭 중선이다.

삼각형 $ABC$의 내접원과 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 접점을 각각 $T_A$, $T_B$, $T_C$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $ABC$의 내접원은 제르곤 삼각형 $T_A{T}_B{T}_C$의 외접원이다. 삼각형 $ABC$의 각 변은 삼각형 $T_A{T}_B{T}_C$의 외접원의 각 꼭짓점 $T_A$, $T_B$, $T_C$에서의 접선이며, 점 $A$, $B$, $C$는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 $T_{A}A$, $T_{B}B$, $T_{C}C$는 삼각형 $T_A{T}_B{T}_C$의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다. 틀:증명 끝

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 대변의 수선의 중점 $M$과 대변의 중점 $M_A$를 잇는 직선은 대칭 중점 $K$를 지난다.틀:Rp 틀:증명 대칭 중점 $K$를 지나는 외접원의 꼭짓점 $B$에서의 접선의 평행선 $PQ$와 변 $AB$, $BC$의 교점을 각각 $P$, $Q$라고 하자. 대칭 중점 $K$를 지나는 외접원의 꼭짓점 $C$에서의 접선의 평행선 $RS$와 변 $AC$, $BC$의 교점을 각각 $R$, $S$라고 하자. 그렇다면 선분 $PQ$, $RS$는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 $PRQS$는 직사각형이다. 직사각형의 변 $PS$, $QR$의 중점을 각각 $D$, $E$라고 하자. 그렇다면 $M$이 꼭짓점 $A$에서 내린 대변의 수선 $A{H}_A$의 중점이므로 $B$, $D$, $M$은 한 직선 위의 점이며, $C$, $E$, $M$ 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 $K$는 선분 $DE$의 중점이며 $M_A$는 선분 $BC$의 중점이므로 $M$, $K$, $M_A$는 한 직선 위의 점이다. 틀:증명 끝

대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.틀:Rp

르무안 원

삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 6개의 점 $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 $K$와 외심 $O$를 잇는 선분 $KO$의 중점이다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 제1 르무안 원(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

마찬가지로, 삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 6개의 점 $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 $K$이다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 제2 르무안 원(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 틀:증명 대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로

$SK=TK$

$UK=PK$

$QK=RK$

이다. 반평행선의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }KPS=\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }KSP$

$\mathrm{\angle }KQT=\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }KTQ$

$\mathrm{\angle }KRU=\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }KUR$

이므로

$PK=SK$

$QK=TK$

$RK=UK$

이다. 틀:증명 끝

제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다.

외부 링크

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