각의 이등분선

기하학에서 각의 이등분선(角-二等分線, 틀:Llang)은 주어진 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 직선이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 반직선을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다.

정의

주어진 각 $\mathrm{\angle }AOB$의 내부의 점 $P$가 $\mathrm{\angle }AOP=\mathrm{\angle }POB$를 만족시키면, 직선 또는 반직선 $OP$를 각 $\mathrm{\angle }AOB$의 이등분선이라고 한다.틀:Rp

성질

주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각 $\mathrm{\angle }AOB$와 이 각의 평면 위의 점 $P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 직선 $OP$는 각의 이등분선이다.
• $P$와 직선 $OA$ 사이의 거리는 $P$와 직선 $OB$ 사이의 거리와 같다.

단순비

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서의 내각과 외각의 이등분선 $AD$, $A{D}^{\prime }$과 대변 $BC$의 교점을 $D$, $D^{\prime }$라고 하자. 그렇다면

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

$\frac{B{D}^{\prime }}{D^{\prime }C}=-\frac{AB}{AC}$

가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다.

길이

삼각형 $ABC$의 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서의 내각의 이등분선 $AD$, $BE$, $CF$와 대변 $BC$, $CA$, $AB$의 교점을 $D$, $E$, $F$라고 하자. 그렇다면

$AD=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}$

$BE=\sqrt{ac(1-\frac{b^2}{(a+c{)}^2})}$

$CF=\sqrt{ab(1-\frac{c^2}{(a+b{)}^2})}$

이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $BE>CF$
• $b<c$

이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다.

• $BE=CF$
• $b=c$

이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

내심과 방심

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다.

이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다.

같이 보기

• 각의 3등분

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드