내접원

내접원(內接圓, 틀:Llang)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 틀:Llang)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 $I$ 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 $r$ 로 표기한다.

정의

다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

반지름

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 $r$ 은 넓이 $S$ 와 반둘레 $s$ 를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

r = \frac{S}{s}

삼각형의 세 변의 길이가 $a$ , $b$ , $c$ , 반둘레가 $s$ , 넓이가 $S$ , 외접원의 반지름이 $R$ , 방접원의 반지름이 $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ 라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

\begin{matrix} r & = \sqrt{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}} \\ = \frac{a b c}{4 s R} \\ = \frac{1}{\frac{1}{r_{A}} + \frac{1}{r_{B}} + \frac{1}{r_{C}}} \\ = r_{A} + r_{B} + r_{C} - 4 R \end{matrix}

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ 라고 하고, 내접원과 두 변 $A C$ , $B C$ 의 접점을 각각 $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 직선 $A I$ 와 $T_{B} T_{C}$ 의 교점을 $P$ 라고 할 때, $B P$ 는 $A I$ 의 수선이다.^[1]틀:Rp

삼각형 $A B C$ 의 내접원의 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변에서의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ , $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라고 할 때, 다음이 성립한다.

A T_{B} = A T_{C} = s - a

B T_{C} = B T_{A} = s - b

C T_{A} = C T_{B} = s - c

삼각형 $A B C$ 의 내심 $I$ 와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

∠ A I B = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A C B

∠ B I C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ B A C

∠ C I A = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ C B A

외접원과의 관계

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 $R$ , $r$ 라고 할 때, 내심 $I$ 와 외심 $O$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

O I = \sqrt{R^{2} - 2 R r}

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

R \geq 2 r

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ , 외접원의 호 $B C$ 의 중점 $M$ 이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

M I = M B = M C

내심 삼각형

삼각형 $A B C$ 의 내각 이등분선 $A I_{A}$ , $B I_{B}$ , $C I_{C}$ 의 발 $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $A B C$ 의 내심 삼각형(內心三角形, 틀:Llang) $I_{A} I_{B} I_{C}$ 라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 $A T_{A}$ , $B T_{B}$ , $C T_{C}$ 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 점(틀:Llang) $X_{7}$ 이라고 한다. 삼각형 $A B C$ 의 내접원의 세 접점 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 삼각형(틀:Llang) 또는 내촉 삼각형(틀:Llang) 또는 접촉 삼각형(틀:Llang) $T_{A} T_{B} T_{C}$ 라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다. 틀:증명 다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 $A T_{A}$ , $B T_{B}$ , $C T_{C}$ 는 한 점에서 만난다.

\frac{A T_{C}}{T_{C} B} \cdot \frac{B T_{A}}{T_{A} C} \cdot \frac{C T_{B}}{T_{B} A} = \frac{s - a}{s - b} \cdot \frac{s - b}{s - c} \cdot \frac{s - c}{s - a} = 1

틀:증명 끝

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.^[1]틀:Rp

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A} T_{B}$ , $T_{B} T_{C}$ , $T_{C} T_{A}$ 의 평행선 $P S$ , $R U$ , $T Q$ 와 원래 삼각형 $A B C$ 의 두 변 $B C$ 와 $C A$ , $C A$ 와 $A B$ , $A B$ 와 $B C$ 의 교점을 각각 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 $A B C$ 의 애덤스 원(틀:Llang)이라고 한다.^[1]틀:Rp 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.^[1]틀:Rp 틀:증명 6개의 점 $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ 와 내심 $I$ 사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 $I T_{A} P$ , $I T_{A} Q$ , $I T_{B} R$ , $I T_{B} S$ , $I T_{C} T$ , $I T_{C} U$ 의 빗변이다. $I T_{A} = I T_{B} = I T_{C}$ 는 내접원의 반지름이므로

P T_{A} = T_{A} Q = R T_{B} = T_{B} S = T T_{C} = T_{C} U

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 $P T_{A} = T_{A} Q = S T_{B}$ 를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 $C T_{A} = C T_{B}$ 이다. 직선 $P S$ 와 $T_{A} T_{B}$ 는 평행하므로 $C P = C S$ 이다. 따라서 $P T_{A} = S T_{B}$ 이다.

선분 $T_{A} T_{B}$ , $T_{A} T_{C}$ 의 연장선과 점 $A$ 를 지나는 직선 $B C$ 의 평행선의 교점을 각각 $D$ , $E$ 라고 하자. 그렇다면 직선 $D E$ 와 $B C$ 는 평행하며 삼각형 $C T_{A} T_{B}$ , $B T_{A} T_{C}$ 는 이등변 삼각형이므로

D A = A T_{C} = A T_{B} = E A

이며, 선분 $T_{A} A$ 는 삼각형 $T_{A} D E$ 의 중선이다. 직선 $D E$ , $P S$ , $Q T$ 는 각각 직선 $B C$ , $T_{A} T_{B}$ , $T_{A} T_{C}$ 와 평행하므로, 삼각형 $T_{A} D E$ 와 선분 $T_{A} A$ 의 합집합은 삼각형 $X_{7} P Q$ 와 선분 $X_{7} T_{A}$ 의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 $X_{7} T_{A}$ 역시 삼각형 $X_{7} P Q$ 의 중선이다. 즉, $P T_{A} = T_{A} Q$ 이다. 틀:증명 끝

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A} T_{B}$ , $T_{B} T_{C}$ , $T_{C} T_{A}$ 의 평행선 $P S$ , $R U$ , $T Q$ 와 원래 삼각형 $A B C$ 의 두 변 $B C$ 와 $C A$ , $C A$ 와 $A B$ , $A B$ 와 $B C$ 의 교점을 각각 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 직선 $U P$ 와 $Q R$ , $Q R$ 와 $S T$ , $S T$ 와 $U P$ 의 교점을 각각 $X$ , $Y$ , $Z$ 라고 하자. 그렇다면 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 점 $X_{7}$ 은 삼각형 $X Y Z$ 의 대칭 중점이며, 삼각형 $A B C$ 의 애덤스 원은 삼각형 $X Y Z$ 의 제1 르무안 원이다.^[1]틀:Rp

역사

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(틀:Llang)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(틀:Llang)가 제시하였다.^[1]틀:Rp

각주

틀:각주

외부 링크

틀:오심

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 틀:서적 인용

[Honsberger-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 틀:서적 인용

[1]

내접원

목차

정의

성질

반지름

접점과 중심각

외접원과의 관계

내심 삼각형

제르곤 점과 제르곤 삼각형

역사

각주

외부 링크

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반지름

접점과 중심각

외접원과의 관계

내심 삼각형

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