라플라스 변환

틀:위키데이터 속성 추적 라플라스 변환(틀:Lang)은 어떠한 함수 $f(t)$에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의

함수 $f(t)$의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 $F(s)$로 정의된다.

$F(s)=ℒ\left\{f\right\}(s)=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

여기서 $0^{-}$는 $\underset{ϵ\to 0+}{\lim }-ϵ$를 간단히 나타낸 것이고 복소수 $s=\sigma +i\omega$, σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 $F(s)=ℒ\{f(t)\}$로 표기하기도 한다.

성질

선형성

$ℒ\{af(t)+bg(t)\}=aℒ\{f(t)\}+bℒ\{g(t)\}$

미분

$ℒ\{f^{\prime }\}=sℒ\{f\}-f(0)$

$ℒ\{f^{″}\}=s^2ℒ\{f\}-sf(0)-f^{\prime }(0)$

$ℒ\left\{f^{(n)}\right\}=s^nℒ\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

$ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$

$ℒ\{t^{n}f(t)\}=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$

$ℒ\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$

적분

$ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}=ℒ\{u(t)*f(t)\}=\frac{1}{s}F(s)$

t shifting

$ℒ\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

${ℒ}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t-a)u(t-a)$

참고: $u(t)$는 층계 함수이다.

합성곱

$ℒ\{f*g\}=ℒ\{f\}ℒ\{g\}$

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

$ℒ\{f\}=\frac{1}{1-e^{-ps}}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

역변환

함수 $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하면 다음 식을 통해 $F(s)$로부터 $f(t)$를 구할 수 있다.

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{a-i\mathrm{\infty }}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)e^{st}ds,i=\sqrt{-1}.$

하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어

$F(s)=\frac{1}{s^2+3s+2},$

로 $F(s)$가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해

$F(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2},$

를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 $f(t)$는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}f(t)& ={ℒ}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}-{ℒ}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}\\ & =e^{-t}-e^{-2t},t\ge 0.\end{array}$

미분방정식의 풀이

상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식

다음과 같은 $n$차 연립 상미분 방정식을 고려하자

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁𝐮(t).$

양변에 라플라스 변환을 취하면

$s𝐗(s)-𝐱(0)=𝐀𝐗(s)+𝐁𝐔(s),$

이고 이를 $𝐗(s)$에 관해 정리하면

$𝐗(s)=(s𝐈-𝐀{)}^{-1}𝐱(0)+(s𝐈-𝐀{)}^{-1}𝐁𝐔(s),$

이다. 따라서, $𝐱(t)$는 다음과 같다.

$𝐱(t)=\exp \left[𝐀t\right]𝐱(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp [𝐀(t-\tau )]𝐁𝐮(\tau )d\tau .$

같이 보기

• 푸리에 변환
• Z변환