인수 정리

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 인수 정리(因數 定理, 틀:Llang)는 다항식이 어떤 1차 다항식을 약수로 가질 필요충분조건을 제시한다. 다항식 나머지 정리의 특별한 경우이다. 인수 정리는 다항식 $f(x)$가 $f(r)=0$ (즉 $r$는 근)인 경우에만 인수 $x-r$를 갖는다고 명시한다.

정의

틀:참고 인수 정리에 따르면, 환 $R$ 및 다항식 $f\in R[x]$ 및 중심의 원소 $r\in \mathrm{Z}(R)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x-r\mid f(x)$. 즉, $f(x)=(x-r)g(x)$인 다항식 $g\in R[x]$가 존재한다.
• $f(r)=0$. 즉, $r$는 $f(x)$의 근이다.

틀:증명 첫 번째 조건은 $f(x)$를 $x-r$로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 다항식 나머지 정리에 따라, $f(x)$를 $x-r$로 나눈 나머지는 $f(r)\in R$이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다. 틀:증명 끝

응용

다항식의 인수분해

인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.

1. 다항식 $f$의 근인 $a$를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)
2. 인수 정리를 사용하여 $(x-a)$가 $f(x)$의 인수라고 결론을 내린다.
3. 다항식 $g(x)=\frac{f(x)}{(x-a)}$를 구한다. 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용할 수 있다.
4. $f(x)=0$의 근은 $a$와 $g(x)=0$의 근이라는 결론을 내린다. $g$의 다항식 차수가 $f$의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 $g$를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단한 편이다.

예제

$x^3+7x^2+8x+2$의 근을 구하라. 이는 시행착오(또는 유리근 정리)를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 x의 값을 찾는다. 유리근 정리에 따라 유리수 근의 후보는 $1,-1,2,-2$ 뿐이다. $(x-1)$이 인수인 지의 여부를 확인하려면 $x=1$을 위의 다항식으로 대체한다.

$\begin{array}{cc}{x}^3+7x^2+8x+2& =(1{)}^3+7(1{)}^2+8(1)+2\\ & =1+7+8+2\\ & =18\end{array}$

이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데 $(x-1)$은 $x^3+7x^2+8x+2$의 인수가 아니기 때문이다. 따라서 우리는 다음에 $(x+1)$을 시도한다. 이에 따라 $x=-1$을 다항식으로 변환한다.

$(-1{)}^3+7(-1{)}^2+8(-1)+2$

이러한 등식은 $0$과 같은 값이 나온다. 그러므로 $x-(-1)$은 즉 $x+1$이 인수가 되고 $-1$은 $x^3+7x^2+8x+2$의 근이 된다.

다음 2개의 근은 대수적으로 $x^3+7x^2+8x+2$를 $(x+1)$로 나누어 2번째 근을 구할 수 있다.

$\frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}=x^2+6x+2$

따라서 $(x+1)$과 $x^2+6x+2$는 $x^3+7x^2+8x+2$의 인수가 된다. 이 가운데 2차 인수는 이차 방정식을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은 $-3\pm \sqrt{7}$의 근을 제공한다. 따라서 원래 다항식에서 3개의 기약 인수는 $x+1$, $x-(-3+\sqrt{7})$, $x-(-3-\sqrt{7})$이다.

대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다.