끝 (범주론)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 범주론에서 끝(틀:Llang)과 쌍대끝(雙對-, 틀:Llang)은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 $𝒞,𝒟$
• 함자 $F:{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to 𝒟$

그렇다면, $F$의 쐐기(틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상 $W\in 𝒟$
• 각 $X\in 𝒞$에 대하여, 사상 $w_x:W\to F(X^{\mathrm{op}},X)$

이는 임의의 $X,Y\in 𝒞$ 및 사상 $f\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)$에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.

$\begin{array}{ccc}W& \stackrel{w_X}{\to }& C(X,X)\\ w_Y\downarrow w_Y& & F({\mathrm{id}}_X,f)\downarrow F({\mathrm{id}}_X,f)\\ C(Y,Y)& \to F(f^{\mathrm{op}},{\mathrm{id}}_Y)& C(X,Y)\end{array}$

마찬가지로, 함자 $G:C^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to 𝒟$의 쌍대쐐기(틀:Llang) $(W,(w_X:C(X,X)\to W{)}_{X\in 𝒞})$는 $G^{\mathrm{op}}:C^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to {𝒟}^{\mathrm{op}}$의 쐐기이다.

함자 $F$의 끝 $(E,e)$은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.

임의의 쐐기 $(W,w)$에 대하여, $\mathrm{\forall }X\in 𝒞:w_X=e_X\circ i$인 사상 $i:W\to E$이 유일하게 존재한다.

이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를

$\underset{c\in 𝒞}{\int }F(c,c)$

로 표기한다.

마찬가지로, 함자 $G:{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to 𝒟$의 쌍대끝은 $G^{\mathrm{op}}:{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to {𝒟}^{\mathrm{op}}$의 끝이다. 이를

${\int }^{c\in 𝒞}G(c,c)$

로 표기한다.

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 $𝒞,𝒟,ℰ$
• 함자 $F:(𝒞\times 𝒟{)}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\times 𝒟\to ℰ$

끝에 대한 푸비니 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약

$\underset{(X,Y)\in 𝒞\times 𝒟}{\int }F(X,Y,X,Y)$

와

$\underset{X\in 𝒞}{\int }\underset{Y\in 𝒟}{\int }F(X,Y,X,Y)$

와

$\underset{Y\in 𝒟}{\int }\underset{X\in 𝒞}{\int }F(X,Y,X,Y)$

가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.틀:Rp (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.)

예

자연 변환

틀:본문 다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 $𝒞$
• 국소적으로 작은 범주 $𝒟$
• 함자 $F,G:X\to 𝒟$

그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

${\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(-),G(-)):{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to \mathrm{Set}$

이 함자의 끝

$\underset{X\in 𝒞}{\int }{\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(X))=\mathrm{Nat}(F,G)$

은 두 함자 $F$와 $G$ 사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분

$\mathrm{Nat}(F,G)\to \mathrm{hom}(F(X),G(X))$

는 다음과 같다.

$(\eta :F\Rightarrow G)\mapsto ({\eta }_X:F(X)\to G(X))$

즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 ${\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),G(X))$들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.

기하학적 실현

틀:본문 위상 공간의 범주 속의 단체 대상

$X:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Top}$

과, 단체의 위상 공간 모형 함자

$G:\mathrm{△}\to \mathrm{Top}$

를 생각하자. 그렇다면, 함자

$F:\mathrm{△}\times {\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Top}$

$F:n\mapsto G(n)\times X(n)$

을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.)

그렇다면, 그 쌍대끝

$|X|={\int }^{n\in \mathrm{△}}G(n)\times X(n)$

을 $X$의 기하학적 실현이라고 한다. 특히, 만약 $X$의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.

입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.

$X:{◻}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Top}$

$G:◻\to \mathrm{Top}$

$|X|={\int }^{n\in ◻}G(n)\times X(n)$

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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