헤세 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 헤세 행렬(Hesse行列, 틀:Llang)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의

실함수 $f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$이 주어졌을 때, 헤세 행렬은 다음과 같이 주어진다.

$H_f=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \cdots & \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right]$

헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 $\mathrm{\nabla }f$에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수 $f$의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤세 행렬

틀:참고 함수 $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$의 $n=2$인 테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.

$𝐡\in {ℝ}^n$에 대해 $\mathrm{\Delta }f:=f({𝐱}_0+𝐡)-f\left({𝐱}_0\right)\approx J\left({𝐱}_0\right)𝐡+\frac{1}{2}{𝐡}^T{H}_f\left({𝐱}_0\right)𝐡$ (여기서 ${𝐡}^T$는 $𝐡$가 열벡터라고 할 때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약 ${𝐱}_0$가 임계점이라면 $𝐃f\left({𝐱}_0\right)=0$이므로 $𝐡\in {ℝ}^n$에 대해 $\mathrm{\Delta }f\approx \frac{1}{2}{𝐡}^T{H}_f\left({𝐱}_0\right)𝐡$이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.

이계도함수 판정

함수 $f$의 이계도함수가 연속일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 스펙트럼 정리에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.

$Q(𝐡)={𝐡}^{𝐓}{H}_f𝐡\mathbf{=}{𝐡}^{𝐓}𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{𝐓}𝐡\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐐}^{𝐓}𝐡{\mathbf{)}}^{𝐓}\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{𝐓}𝐡$

$𝐮\mathbf{=}{𝐐}^{𝐓}𝐡$로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$Q(𝐮)={\lambda }_1{u}_1^2+{\lambda }_2{u}_2^2+...+{\lambda }_n{u}_n^2$

헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.

• 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
• 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
• 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 안장점이 된다.

외부 링크

• 틀:매스월드

같이 보기

• 야코비 행렬