최대 최소 정리

닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f는 최댓값 f(c)와 최솟값 f(d)를 반드시 갖는다.

미적분학에서 최대 최소 정리(最大最小整理, 틀:Llang)는 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리이다.

정의

최대 최소 정리에 따르면, 정의역이 콤팩트 공간 $X\ne \varnothing$, 공역이 실수선 $ℝ$인 연속 함수 $f:X\to ℝ$는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

$\underset{x\in X}{\sup }f(x)=\underset{x\in X}{\max }f(x)$

$\underset{x\in X}{\inf }f(x)=\underset{x\in X}{\min }f(x)$

즉, 다음을 만족시키는 $x,y\in X$가 존재한다.

• 임의의 $z\in X$에 대하여, $f(x)\le f(z)\le f(y)$

특히, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다.

증명

귀류법을 사용하여, $f:X\to ℝ$가 최댓값을 가지지 않는다고 가정하자. 그렇다면, $f$가 연속 함수이므로, 임의의 $x\in X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U_x\ni x$을 취할 수 있다.

$\underset{y\in U_x}{\sup }f(y)<\underset{y\in X}{\sup }f(y)$

그렇다면, $\{U_x{\}}_{x\in X}$는 $X$의 덮개이며, $X$가 콤팩트 공간이므로 유한 부분 덮개 $\{U_{x_1},\dots ,U_{x_n}\}$를 취할 수 있다. 따라서, 임의의 $x\in X$에 대하여,

$f(x)\le \underset{1\le k\le n}{\max }\underset{y\in U_{x_k}}{\sup }f(y)<\underset{y\in X}{\sup }f(y)$

이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서, $f$의 상한은 무한대가 아니며, 또한 $f$는 최댓값을 갖는다.

역사

최대 최소 정리는 1830년대에 베르나르트 볼차노가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 1860년에 카를 바이어슈트라스가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.