칸토어 교점 정리

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, 틀:Llang)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다.

정의

위상 공간 $X$ 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 $𝒦$가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면, $\bigcap 𝒦=\varnothing$인 것은 $𝒦\ni \varnothing$인 것과 동치이다.틀:Rp

증명:

$𝒦\ni \varnothing$이라면 자명하게 $\bigcap 𝒦=\varnothing$이다. 반대로 $\bigcap 𝒦=\varnothing$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $K_0\in 𝒦$에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

$\bigcap _{L\in 𝒦}^{L\subseteq K_0}K=\bigcap _{K,L\in 𝒦}^{K\supseteq L\subseteq K_0}K=\bigcap _{K\in 𝒦}K=\varnothing$

이다. 따라서

$\{K_0\setminus L:L\in 𝒦,L\subseteq K_0\}$

는 $K_0$의 열린 덮개이다. 그런데 $K_0$는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

$\{K_0\setminus L_1,\dots ,K_0\setminus L_n\}$

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 $\{L_1,\dots ,L_n\}$의 하계

$L\in 𝒦$

$L\subseteq L_1\cap \cdots \cap L_n$

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

$L_1\cap \cdots \cap L_n=\varnothing$

이므로 $L=\varnothing$이다.

특히, $X$ 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

$K_0\supseteq K_1\supseteq K_2\supseteq \cdots$

은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 $X$가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합 $X$ 속의 부분 집합들의 족 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(틀:Llang)을 만족시킨다고 한다.

• 임의의 유한 부분 집합 $S_1,S_2,\dots ,S_n\in 𝒮$에 대하여, $S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\ne \varnothing$

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 콤팩트 공간이다.
• $X$ 속의 임의의 닫힌집합들의 족 $𝒮$가 유한 교차성을 만족시킨다면, $\bigcap 𝒮\ne \varnothing$이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

차분한 공간

호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 $X$ 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 $𝒦$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp틀:Rp

• $\bigcap 𝒦$ 역시 콤팩트 포화 집합이다.
• 만약 $U\subseteq X$가 열린집합이며, $\bigcap 𝒦\subseteq U$라면, $K\subseteq U$인 $K\in 𝒦$가 존재한다.
• 만약 $\bigcap 𝒦=\varnothing$라면, $𝒦\ni \varnothing$이다.

틀:증명 임의의 $K\in 𝒦$의 열린 근방 필터 $𝒰(K)$는 열린집합 격자 $\mathrm{Open}(X)$의 스콧 열린 필터이다. $𝒦$가 하향 집합이므로,

$ℱ=\bigcup _{K\in 𝒦}𝒰(K)$

역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

$\bigcap ℱ=\bigcap _{K\in 𝒦}\bigcap 𝒰(K)=\bigcap 𝒦$

는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, $ℱ$는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

$ℱ=𝒰(\bigcap 𝒦)$

만약 $U$가 열린집합이며, $\bigcap 𝒦\subseteq U$라면, $U\in ℱ$이므로, $U$는 어떤 $K\in 𝒦$의 열린 근방이다. 만약 $\bigcap 𝒦=\varnothing$이라면, $U=\varnothing$는 어떤 $K\in 𝒦$의 열린 근방이며, 이 경우 $K=\varnothing$이다. 틀:증명 끝 T₁ 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T₁ 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

역사

게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용