아벨 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 아벨 판정법(틀:Llang)은 급수의 수렴 판정법의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.

정의

실수 항 급수

두 실수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$, $(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 수렴한다.
• $(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 단조수열이자 유계 수열이다.

아벨 판정법에 따르면, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

역시 수렴한다.틀:Rp틀:Rp 틀:증명 $(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 단조수열 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.

$b=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n\in ℝ$

라고 하자. $(b_n-b{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(b_n-b)$

는 수렴한다. 따라서, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(b_n-b)+b\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

역시 수렴한다. 틀:증명 끝 틀:증명

$S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$

$b=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n\in ℝ$

라고 하자. 임의의 $ϵ>0$에 대하여,

$|b_n|\le 2|b|(\mathrm{\forall }n>N(ϵ))$

$|S_m-S_n|<\frac{ϵ}{6|b|+1}(\mathrm{\forall }m,n>N(ϵ))$

인 자연수 $N(ϵ)\in \mathbb{N}$이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 $n\ge N(ϵ)$ 및 임의의 $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{a}_k{b}_k\right|& =|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)|\\ & \le |b_{n+p}||S_{n+p}-S_n|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}||S_k-S_n|\\ & \le \frac{ϵ}{6|b|+1}(|b_{n+p}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|)\\ & =\frac{ϵ}{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})|)\\ & =\frac{ϵ}{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\ & \le \frac{ϵ}{6|b|+1}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\ & \le \frac{ϵ}{6|b|+1}\cdot 3\cdot 2|b|\\ & <ϵ\end{array}$

즉, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 틀:증명 끝

이상 적분

실수 값 함수 $f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $f$는 임의의 $[a,b]\subseteq [a,\mathrm{\infty })$에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$는 수렴한다.
• $g$는 단조함수이자 유계 함수이다.

그렇다면, 이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

는 수렴한다. 틀:증명 $g:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$가 단조 유계 함수이므로, 극한

$g(\mathrm{\infty })=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)\in ℝ$

가 존재한다. 함수 $x\mapsto g(x)-g(\mathrm{\infty })$는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

가 수렴하므로,

$x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)(g(x)-g(\mathrm{\infty }))dx$

는 수렴한다. 따라서, 이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)(g(x)-g(\mathrm{\infty }))dx+g(\mathrm{\infty })\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

역시 수렴한다. 틀:증명 끝 틀:증명

$g(\mathrm{\infty })=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)\in ℝ$

이라고 하자. 임의의 $ϵ>0$에 대하여,

$|g(x)|<2|g(\mathrm{\infty })|(\mathrm{\forall }x>N(ϵ))$

$|\underset{x}{\overset{y}{\int }}f(t)dt|<\frac{ϵ}{4|g(\mathrm{\infty })|+1}(\mathrm{\forall }y>x>N(ϵ))$

인 $N(ϵ)>a$가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 $y>x>N(ϵ)$에 대하여, 어떤 $c(x,y)\in [x,y]$가 존재하며, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}|\underset{x}{\overset{y}{\int }}f(t)g(t)dt|& =|g(x)\underset{x}{\overset{c(x,y)}{\int }}f(t)dt+g(y)\underset{c(x,y)}{\overset{y}{\int }}f(t)dt|\\ & \le 2|g(\mathrm{\infty })|(|\underset{x}{\overset{c(x,y)}{\int }}f(t)dt|+|\underset{c(x,y)}{\overset{y}{\int }}f(t)dt|)\\ & \le 2|g(\mathrm{\infty })|\cdot 2\cdot \frac{ϵ}{4|g(\mathrm{\infty })|+1}\\ & <ϵ\end{array}$

따라서, 이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

은 수렴한다. 틀:증명 끝

균등 수렴

집합 $X$ 및 두 실수 값 함수의 열 $(f_n,g_n:X\to ℝ{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 함수 항 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$는 균등 수렴한다.
• $(g_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 $x\in X$에 대하여, $(g_n(x){)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$는 단조수열이다.

그렇다면, 함수 항 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n{g}_n$

역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, $(g_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 점별 극한 $g:X\to ℝ$을 갖지만, $g$로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약 $X$가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

예

아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.틀:Rp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+1}{n}{a}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{n}{a}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{n})}^n{a}_n$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki