디니 정리

틀:위키데이터 속성 추적 미적분학에서, 디니 정리(틀:Lang)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.

정의

$K$에서 정의된 실함수열 $\{f_n(x)\}$이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

• $K$는 $ℝ$의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 $K$는 유계인 닫힌집합이다.)
• $\{f_n(x)\}$은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e., $\mathrm{\forall }x\in K,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ $\vee$ $f_n(x)\ge f_{n+1}(x)$)
• $f_n$이 $K$에서 연속인 (극한)함수 $f:K\to ℝ$로 점별 수렴한다. (i.e, $\mathrm{\exists }$ continuous function $f:K\to ℝ$ such that $f_n\to f$ on $K$)

그렇다면, $\{f_n(x)\}$이 $K$에서 $f$로 균등 수렴한다. 즉,

$f_n\rightrightarrows f$ on $K$

이다.

증명

일반성을 잃지 않고, $\{f_n(x)\}$이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 $\{f_n(x)\}$이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.) 함수 $g_n:K\to ℝ$을 $g_n=f-f_n$이라 정의하자. 조건에 의해 $f$와 $f_n$는 연속함수이므로 $g_n$도 연속함수이다.

먼저, 집합 ${𝒪}_n$을 ${𝒪}_n=\{x\in K:g_n(x)<ϵ\}$이라 정의하자. 집합 ${𝒪}_n$의 정의에 의해 ${𝒪}_n=g^{-1}(-\mathrm{\infty },ϵ)$임을 알 수 있다. 또한 $(-\mathrm{\infty },ϵ)$는 $ℝ$에서 열린집합이고 $g_n$이 연속함수이므로 $(-\mathrm{\infty },ϵ)$의 역상 ${𝒪}_n=g^{-1}(-\mathrm{\infty },ϵ)$은 $K$에서 열린집합이다.

이제 $K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{𝒪}_i$임을 보이기 위해 $x\in K$라 하자. 조건에 의해 $f_n$이 $K$에서 연속인 극한함수 $f:K\to ℝ$로 점별 수렴하므로, $f_n(x)\to f(x)$이다. 따라서, $n\ge N$일 때 $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$이 되도록 하는 양의 정수 $N$이 존재한다. $g_n$과 ${𝒪}_n$의 정의에 의해 $x\in$ ${𝒪}_N$임을 알 수 있으므로 $x\in$ $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{𝒪}_i$이 성립한다.

따라서, 집합족 $𝒞$를 $𝒞=\{{𝒪}_n:n\in \mathbb{N}\}$이라 정의하면 $𝒞$는 $K$의 열린덮개가 된다. $K$는 조건에 의해 콤팩트이므로 $𝒞$의 유한 열린 부분 덮개 ${𝒞}^{\prime }=\{{𝒪}_1,{𝒪}_2,\cdots ,{𝒪}_m\}$이 존재하여 $K\subseteq \bigcup _{i=1}^m{𝒪}_i$이다. 특히 임의의 양의 정수 $n$에 대해 ${𝒪}_n\subseteq K$이므로, $\bigcup _{i=1}^m{𝒪}_i\subseteq K$이다. 따라서, $K=\bigcup _{i=1}^m{𝒪}_i$이다. 또한 ${𝒪}_n$$\subseteq {𝒪}_{n+1}$임을 알 수 있으므로, 양의 정수 $M=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{𝒪}_1,{𝒪}_2,\cdots ,{𝒪}_m\}$에 대하여 $K={𝒪}_M$이다.

이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다. 임의의 $ϵ>0$에 대하여 $n\ge M$이고 $x\in K$라고 하자. 그러면 $x\in K={𝒪}_M\subseteq {𝒪}_n$이므로 $f(x)-f_n(x)<ϵ$이다. 또한 가정에 의해 $\{f_n(x)\}$이 증가하는 연속함수열이므로, $0\le f(x)-f_n(x)<ϵ$ 임을 알 수 있다. 따라서 $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$이다. 즉, $\{f_n(x)\}$이 $K$에서 $f$로 균등 수렴한다.