이국적 초구 모노이드

미분위상수학에서 이국적 초구(異國的超球, 틀:Lang)는 n차원 초구와 위상 동형이지만 미분 동형은 아닌 다양체를 말한다. 다시 말해 위상적으로는 구와 같지만 매끄러움 구조가 일반적인 구와 다른 다양체이다.

일반적인 구를 항등원으로, 연결합을 연산으로 놓으면 각 n차원에 대해서 이국적 구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 n=4인 경우를 제외하면 유한 아벨 군이 된다.

개요

위상수학에서는 어떤 다양체가 단위 n차원 초구 $\{(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1})|x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{n+1}^2=1\}\in {ℝ}^n$ 사이에 위상동형사상이 존재하면 그 다양체를 ‘n차원 초구’라 부른다. 한편 미분위상수학에서는 두 다양체 사이에 미분동형사상이 있으면서 그 사상과 역사상이 무한 번 미분 가능한 매끄러운 사상일 경우 두 다양체의 매끄러움 구조가 같다고 말한다. 이 때 단위 초구(‘표준 초구’)와 위상동형이지만 매끄러움 구조가 서로 다른 다양체를 ‘이국적 초구’라 부른다.

분류

같은 차원의 이국적 초구 두 개를 연결합을 하면 초구와 위상 동형이 된다. (${𝕊}^n\mathrm{\#}{𝕊}^n{\cong }_{\mathrm{TopMfd}}{𝕊}^n$.) 또한 연결합은 교환 법칙과 결합 법칙을 따르므로 각각의 n차원 이국적 초구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드는 $n\ne 4$일 때 역원이 존재하는 아벨군이 되며, n차원 호모토피 초구들이 이루는 h-보충 경계류들의 군 ${\mathrm{\Theta }}_n$과 동형이 된다.

n=4일 때 초구가 존재하는지, 얼마나 많은지, 모노이드가 어떤 구조인지는 미해결 문제이다.

성질

• ${\mathrm{\Theta }}_n$은 유한 아벨 군이다.
• 표준 매끄러운 초구는 ${\mathrm{\Theta }}_n$의 항등원을 이룬다.
• $n\in \{0,1,2,3,5,6,12,56,61\}$일 때, ${\mathrm{\Theta }}_n$은 자명군이다.틀:Rp
• $n$이 1, 3, 5, 61이 아닌 홀수라면, $|{\mathrm{\Theta }}_n|>1$이다.틀:Rp
• ${\mathrm{\Theta }}_7$은 크기 28의 순환군이다.

평행화 가능 다양체

군 ${\mathrm{\Theta }}_n$의 원소 중 평행화 가능 다양체의 경계가 될 수 있는 초구들의 집합 $b{P}_{n+1}$은 ${\mathrm{\Theta }}_n$의 부분 순환군을 이룬다. 그 몫군 ${\mathrm{\Theta }}_n/b{P}_{n+1}$의 발견은 수술 이론 발전에 기여했다.

$b{P}_{n+1}$는 n이 짝수일 때는 자명군이며, $n=4k+1$일 때는 원소 1개 또는 2개의 군이다. 언제 2가 되는지는 틀:임시링크과 관련이 있으며 n=125인 경우를 제외하고는 전부 밝혀져 있다. $n=4k-1,k\ge 2$인 경우

$|b{P}_{n+1}|=|b{P}_{4k}|=2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B$

이며, 여기서 B는 $4B_{2k}/k$의 분모이고 $B_{2k}$는 베르누이 수이다. (베르누이 수는 문헌마다 정의가 조금씩 다르다.)

안정 호모토피군과의 관계

몫군 ${\mathrm{\Theta }}_n/b{P}_{n+1}$은 틀:임시링크 ${\pi }_n^S$과 J-준동형의 상 사이의 몫군과 관련이 있다. 사상

${\mathrm{\Theta }}_n/b{P}_{n+1}\to {\pi }_n^S/\mathrm{im}(J)$

은 단사이며 index가 1 또는 2이다. 언제 2가 되는지는 틀:임시링크과 관련이 있다.

${\mathrm{\Theta }}_n$의 크기

${\mathrm{\Theta }}_n$의 크기는 다음과 같다.

	OEIS	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$|{\mathrm{\Theta }}_n|$	A1676	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
$|b{P}_{n+1}|$	A187595	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
${\mathrm{\Theta }}_n/b{P}_{n+1}$		1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
${\pi }_n^s/\mathrm{im}(J)$		1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
index		–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

이국적 초구의 구체적인 예

존 밀너가 발견한 7차원 이국적 초구는 구체적으로 다음과 같다.

경계다양체 ${𝔹}^4\times {𝕊}^3\times \{0,1\}$를 생각하자. 그 경계는 ${𝕊}^3\times {𝕊}^3\times \{0,1\}$이다. 3차원 초구는 단위 절댓값의 사원수의 집합 $\{x\in ℍ:|x|=1\}$로 여길 수 있다.

이제, 그 경계를 다음과 같이 이어붙이자.

$(a,b,0)\sim (a,a^{2}b{a}^{-1},1)(a,b\in {𝕊}^3)$

여기서 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

이렇게 하여 얻는 7차원 매끄러운 다양체 $X$는 7차원 매끄러운 초구와 위상 동형이지만, 미분 동형이 아니다. 구체적으로, $X$는 7차원 매끄러운 초구와 달리 다음과 같은 성질들을 갖는다.

• 방향을 뒤집는 미분 동형 $X\to \overline{X}$이 존재하지 않는다. (반면, 매끄러운 초구의 경우 이것이 간단하게 존재한다.)
• 4차 베티 수가 0인 8차원 매끄러운 경계다양체의 경계가 될 수 없다. (반면, 7차원 매끄러운 초구는 물론 자명한 베티 수를 갖는 8차원 공의 경계이다.)

보다 일반적으로, 7차원에서 존재하는 28개의 초구 매끄러움 구조는 다음과 같다. 복소수 벡터 공간 ${ℂ}^5=\{(a,b,c,d,e):a,b,c,d,e\in ℂ\}$에서, 다음 다항식으로 정의되는 복소수 4차원 (실수 8차원) 대수다양체를 생각하자.

$a^2+b^2+c^2+d^3+e^{6k-1}=0(k\in \{1,2,\dots ,28\})$

이제, ${ℂ}^5$의 원점에서 충분히 작은 9차원 초구를 생각하자. 9차원 초구와 8차원 다양체의 교집합은 (여차원이 더해지므로) 7차원 매끄러운 다양체를 정의한다. 이제, $k\in \{1,2,\dots ,28\}$에 대하여 이들은 각각 28개의 7차원 이국적 초구들을 이룬다.

역사

에드윈 에버리스트 모이즈

존 밀너

1952년에 에드윈 에버리스트 모이즈(틀:Llang, 1918~1998)가 $M_3$이 자명군이라는 사실을 증명하였다. (2차원 이하의 경우는 자명하다.)

최초의 이국적 초구는 존 밀너가 1956년에 발견한 7차원 이국적 초구이다. 이에 대하여 밀너는 훗날 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 이후 1963년에 미셸 케르베르와 존 밀너가 5차원 이상의 경우 $M_n$이 유한 아벨 군이며, 또한 그 군을 h-보충 경계 이론을 통해 계산할 수 있다는 사실을 증명하였다.

같이 보기

• 별난 4차원 유클리드 다양체
• 7차원

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab