J-준동형

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 J-준동형(J-準同型, 틀:Llang)은 특수 직교군의 호모토피 군에서 초구의 호모토피 군으로 가는 특별한 군 준동형이다.

정의

J-준동형은 다음과 같은 군 준동형이다.

$J_{k,n}:{\mathrm{\pi }}_k(\mathrm{SO}(n))\to {\pi }_{k+n}({𝕊}^n)(k,n\ge 2)$

여기서

• ${\pi }_k(-)$는 다양체의 $k$차 호모토피 군이다.
• $\mathrm{SO}(n;ℝ)$은 실수체 계수 $n\times n$ 행렬로 구성된 특수 직교군이다. 이는 리 군이므로, 특히 매끄러운 다양체를 이룬다.
• ${𝕊}^n$은 $n$차원 초구이다. 이 역시 물론 매끄러운 다양체이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, $\mathrm{SO}(n)$은 ${𝕊}^{n-1}$ 위에 표준적으로 매끄럽게 작용한다.

$\mathrm{SO}(n)\to {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^{n-1},{𝕊}^{n-1})$

따라서, $\mathrm{SO}(n)$의 $k$차 호모토피 군은 다음과 같은 꼴의 연속 함수의 호모토피류로 구성된다.

${\mathrm{S}}^k\times {𝕊}^{n-1}\to {𝕊}^{n-1}$

따라서, 이는 다음과 같은 호모토피류를 정의한다.

${𝕊}^{k+n}\cong {𝕊}^k\star {𝕊}^{n-1}\to \mathrm{S}({𝕊}^{n-1})\cong {𝕊}^n$

이는 물론 ${\pi }_{k+n}({𝕊}^n)$의 원소이다. 여기서 $X\star Y$는 두 위상 공간의 이음이며, $\mathrm{S}(-)$은 위상 공간의 현수이다.

또한, 만약 $n\to \mathrm{\infty }$ 극한을 취한다면, 다음과 같은 안정 J-준동형(틀:Llang)을 얻는다.

$J_{k,\mathrm{\infty }}:{\mathrm{\pi }}_k(\mathrm{SO}(\mathrm{\infty }))\to {\mathrm{\pi }}_k^{𝕊}$

역사

하인츠 호프가 ${\pi }_k(\mathrm{SO}(k+1))\to {\pi }_{2k+1}({𝕊}^{k+1})$인 경우를 1935년에 구성하였다. 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(틀:Llang, 1918~2004)가 이를 ${\pi }_k(\mathrm{SO}(n))\to {\pi }_{k+n}({𝕊}^n)$인 경우로 일반화하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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