디랙 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, 틀:Llang)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.틀:Rp

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$ 위의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$
• $E\otimes E^{*}$의 매끄러운 단면 $T\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E\otimes E^{*})$. (흔히 $T=0$으로 잡는다.)

그렇다면, 라플라스 연산자

$\mathrm{\Delta }=g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

및 일반화 라플라스 연산자

$\mathrm{\Delta }+T:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자

$D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

는

$D^2=\mathrm{\Delta }$

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, 틀:Llang) 또는 일반화 디랙 연산자(틀:Llang)

$D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

$D^2=\mathrm{\Delta }+T$

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

등급 디랙 연산자

클리퍼드 대수는 자연스럽게 $\mathbb{Z}/2$-등급 대수를 이룬다.

$\mathrm{Cliff}(V,Q;K)={\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)\oplus {\mathrm{Cliff}}^{-}(V,Q;K)$

이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.틀:Rp

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 두 매끄러운 벡터 다발 $E^{\pm }\twoheadrightarrow M$. 편의상 $E=E^{+}\oplus E^{-}$로 표기하자.
• $E$ 위의 초접속 $\mathrm{\nabla }:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(M;E)$
• $E^{\pm }\otimes (E^{\mp }{)}^{*}$의 매끄러운 단면 $T^{\pm }\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E^{\pm }\otimes {E^{\mp }}^{*})$ (복부호 동순)

그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

$\mathrm{\Delta }+T:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자(틀:Llang)

$D^{\pm }:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E^{\pm })\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E^{\mp })$ (복부호 동순)

는

$D^{-}{D}^{+}=\mathrm{\Delta }+T$

$D^{+}{D}^{-}=\mathrm{\Delta }+T$

를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류

클리퍼드 가군 다발 접속

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 클리퍼드 가군 다발 $E$ 위의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.

${\mathrm{\nabla }}_X(a\cdot s)=a\cdot {\mathrm{\nabla }}_{X}s+({\mathrm{\nabla }}_{X}a)\cdot s\mathrm{\forall }a\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{Cliff}(\mathrm{T}M,g)),s\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E),X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}M)$

여기서 ${\mathrm{\nabla }}_{X}a$는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, $\mathbb{Z}/2$-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

디랙 연산자의 분류

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위에 디랙 연산자 $D$가 주어졌을 때, $E$ 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 $\mathrm{Cliff}(\mathrm{T}M,g)$의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 $E_x$이 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}({\mathrm{T}}_{x}M,g_x)$의 왼쪽 가군을 이룬다.틀:Rp 구체적으로, 이는 다음과 같다.

$D(fs)-f(Ds)=(\mathrm{d}f)\cdot s$

여기서

• $f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$는 $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
• $\mathrm{d}f\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)={\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{T}}^{*}M)$은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 ${\mathrm{\Omega }}^1(M)\hookrightarrow \mathrm{Cliff}({\mathrm{T}}^{*}M,g^{-1})\cong \mathrm{Cliff}(\mathrm{T}M,g)$이 존재한다.
• $\cdot$은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.

클리퍼드 다발 $\mathrm{Cliff}(\mathrm{T}M,g)$의 매끄러운 단면은 벡터장 $X=(\mathrm{d}f{)}^{\mathrm{♯}}$으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, $E$는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,

• 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
• 주어진 클리퍼드 가군 다발 $E$ + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 $\mathrm{End}(E)$ 꼴의 아핀 공간이다.
• 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 $\mathbb{Z}/2$-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
• 주어진 클리퍼드 가군 다발 $\mathbb{Z}/2$-등급 다발 $E^{\pm }$ + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 ${\mathrm{End}}^{+}(E)$ 꼴의 아핀 공간이다.

예

곡선 위의 벡터다발

계량이 주어진 곡선 $\gamma$ 위의 다발 $E\twoheadrightarrow \gamma$의 경우, 디랙 연산자는 단순히

$D=\mathrm{\nabla }$

이다.

접다발

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 접다발 $\mathrm{T}M$에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 $M$이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

$\mathrm{T}M\hookrightarrow \mathrm{S}M$

으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. $\mathrm{S}M$은 $2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }$차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 $\mathrm{Cl}(\mathrm{T}M,g)$ 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

$\gamma :\mathrm{T}M\hookrightarrow \mathrm{Cl}(M,g)$

$\gamma :v^i\mapsto v^i{\gamma }_i$

이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

$D=g^{ij}{\gamma }_i{\mathrm{\nabla }}_j$

이다. 즉,

$D^2=\{D,D\}/2=\frac{1}{2}\{{\gamma }^i{\gamma }^j\}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j=\mathrm{\Delta }$

이다.

만약 $M$이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

$\mathrm{S}M={\mathrm{S}}^{+}M\oplus {\mathrm{S}}^{-}M$

이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.

$D^{\pm }=(D\upharpoonright {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{S}}^{\pm }M)):{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{S}}^{\pm }M)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{S}}^{\mp }M))$ (복부호 동순)

따라서, 이는 ${\mathrm{S}}^{\pm }M$ 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

호지-드람 연산자

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식의 다발

$E={\bigwedge }^{\bullet }{\mathrm{T}}^{*}M$

을 생각하자. 즉,

$\mathrm{\Gamma }(E)=\mathrm{\Omega }(M)$

이다. 만약 $M$이 콤팩트 다양체라면, 외미분

$\mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(M)$

의 에르미트 수반

${\mathrm{d}}^{†}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet -1}(M)$

을 정의할 수 있다. 그렇다면,

$(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}{)}^2=\{\mathrm{d},{\mathrm{d}}^{†}\}=\mathrm{\Delta }$

이 된다. 여기서 $\mathrm{\Delta }$는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

$D=\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}$

를 정의하면, $D$는 $E$ 위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사

최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

같이 보기

• 디랙 방정식
• 열핵
• 클리퍼드 대수

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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