디랙 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 틀:장방정식 디랙 방정식(Dirac 方程式)은 스핀이 ½인 페르미온을 나타내는 상대론적 양자 파동 방정식이다. 디랙 방정식은 거울 대칭 및 시공 반전성을 따르고, 입자가 반입자와 다른, 스핀 ½ 페르미온을 기술한다. 이 때문에 거울 대칭을 지키는 이론(양자전기역학 등)에서 전자를 기술할 때 쓴다. 만약 입자가 그 반입자와 동일할 경우 마요라나 방정식을 쓰고, 표준 모형과 같이 거울 대칭을 따르지 않으면 바일 방정식을 사용한다.

역사

1928년에 폴 디랙이 발표하였다. 디랙은 진공 상태의 우주가 비어있는 것이 아닌 입자와 반입자의 결합체로 가득 찬 상태라고 보았고, 후세에 의해 진공은 '디랙의 바다'라고도 불린다. 방정식을 사용하여, 디랙은 반입자의 존재를 예측하였다. 이는 1932년에 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견함으로써 실험적으로 검증되었다.

수학적 공식

상대론적으로 쓰면, 디랙 방정식은 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

$-i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi +mc\psi =0$

여기서 ${\gamma }^{\mu }$는 디랙 행렬이다. 이 중 ${\gamma }^0$은 에르미트 행렬이고, 나머지는 반에르미트 행렬이다. 이들은 민코프스키 메트릭 ${\eta }^{\mu \nu }$와 다음과 같은 관계를 가진다.

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu }$

여기서 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}$는 반교환자(anticommutator)를 뜻한다. 즉, 디랙 행렬은 민코프스키 공간에 대해 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 이룬다. (이를 디랙 대수라 칭한다.)

파인먼 표기법을 이용하면, 디랙 방정식은 다음과 같다.

$(-i\partial /+m)\psi =0$

클라인-고든 방정식과의 관계

디랙 방정식에 $(i\partial /+m)$를 곱하면

$(i\partial /+m)(-i\partial /+m)\psi =({\partial }^2+m^2)\psi =0$

이 된다. 즉, $\psi$ 가 디랙 방정식을 만족하면 $\psi$ 의 각 성분이 클라인-고든 방정식

$({\partial }^2+m^2)\psi =0$

을 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

같이 보기

• 클라인-고든 방정식
• 슈뢰딩거 방정식
• 파동 방정식
• 양자 전기역학
• 스피너
• 치터베베궁