클리퍼드 다발

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 클리퍼드 다발(Clifford다발, 틀:Llang)은 각 올이 클리퍼드 대수의 구조를 갖는 벡터 다발이다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 또한, 대칭 다발

${\mathrm{Sym}}^2{E}^{*}$

의 연속 단면

$Q\in {\mathrm{\Gamma }}^0({\mathrm{Sym}}^{2}E)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in X$에 대하여, 벡터 공간 $E_x$와 이차 형식 $Q_x$로부터 실수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cl}(E_x,Q_x)$를 정의할 수 있다. 이를 올로 하는, $X$ 위의 벡터 다발

$\mathrm{Cl}(E,Q)=\underset{x\in X}{⨆}\mathrm{Cl}(E_x,Q_x)$

을 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 클리퍼드 다발이라고 한다.

만약 미분기하학을 전개하려면, $X$가 매끄러운 다양체이며, $E$가 매끄러운 벡터 다발이며, $Q$가 매끄러운 단면인 경우를 생각하여 매끄러운 클리퍼드 다발을 정의할 수 있다.

클리퍼드 다발 접속

매끄러운 클리퍼드 다발 $C$ 위의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$가 다음과 같은 곱 규칙을 만족시킨다면, 클리퍼드 다발 접속이라고 한다.

${\mathrm{\nabla }}_X(ab)=a{\mathrm{\nabla }}_{X}b+({\mathrm{\nabla }}_{X}a)b$

즉, 코쥘 접속이 클리퍼드 대수의 연산과 호환되어야 한다.

예

리만 다양체

준 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌을 때, 그 접다발 $\mathrm{T}M$의 올 위에는 자연스러운 이차 형식 $g$이 존재하며, 마찬가지로 공변접다발 ${\mathrm{T}}_{x}M$의 올 위에는 이차 형식 $g^{-1}$가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발

$\mathrm{Cl}(\mathrm{T}M,g)$

과

$\mathrm{Cl}({\mathrm{T}}^{*}M,g^{-1})$

를 정의할 수 있다.틀:Rp 리만 계량에 따라 사실 표준적인 벡터 다발 동형

$g^{\mathrm{♭}}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 직교군의 클리퍼드 대수 위의 표현을 통해, 직교 틀다발 ${\mathrm{F}}_{\mathrm{O}}M$의 연관 벡터 다발로도 구성될 수 있다.

이 경우, 레비치비타 접속을 $\mathrm{Cl}(\mathrm{T}M,g)$ 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 대수 구조와 호환된다. 만약 $(M,g)$ 위에 스핀 구조 또는 스핀C 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 $\mathrm{S}M$은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

일반화 기하학

매끄러운 다양체 $M$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $E\oplus E^{*}$ 위에는 자연스러운 이차 형식

$Q(x,\xi )=\xi (x)$

이 주어지며, 이에 따라 클리퍼드 다발 $\mathrm{Cl}(E\oplus E^{*})$을 정의할 수 있다.

이 경우, $\bigwedge E^{*}$은 $\mathrm{Cl}(E\oplus E^{*})$ 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

같이 보기

• 스피너
• 스핀 다양체
• 클리퍼드 가군 다발

외부 링크

• 틀:Nlab