에일렌베르크-스틴로드 공리

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 에일렌베르크-스틴로드 공리(틀:Llang)는 상대 호몰로지가 만족하는 다섯 개의 공리다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 노먼 스틴로드가 1945년에 발표하였다.

정의

상대 호몰로지는 부분공간이 갖추어진 위상 공간의 범주 $\mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}^{\mathrm{2}}$에서 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$로 가는 일련의 함자 $H_n$과 이들 함자 사이의 자연 변환 ${\partial }_n:H_n\to H_{n-1}$로 구성된다.

이 데이터가 보통 호몰로지 이론(틀:Llang)을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다. 만약 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족시지만 차원 공리는 성립하지 않는다면, 이를 특수 호몰로지 이론(틀:Llang)이라고 한다.

1. (호모토피 불변성) $g,h:(X,A)\to (Y,B)$가 서로 호모토픽하다면, $H_{\bullet }(f)=H_{\bullet }(g)$이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상 공간과 그 호모토피들의 범주 $\mathrm{h}\mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}^{\mathrm{2}}$에 정의된다.
2. (절단 정리) $\mathrm{cl}(U)\subset \mathrm{int}(A)$라면 $H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X\setminus U,A\setminus U)$이다.
3. (차원 공리) $P$가 점 하나만을 포함한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 $n\ne 0$인 경우 $H_n(P,\varnothing )=0$이다.
4. (가법성) $X=\underset{\alpha }{⨆}{X}_{\alpha }$가 집합들의 서로소 합집합이라고 하자. 그렇다면 $H_{\bullet }(X,\varnothing )=\underset{\alpha }{⨁}{H}_{\bullet }(X_{\alpha },\varnothing )$이다.
5. (완전성) 다음과 같은 완전열이 존재한다.

$\cdots \to H_n(A,\varnothing )\to H_n(X,\varnothing )\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A,\varnothing )\to H_{n-1}(X,\varnothing )\to H_{n-1}(X,A)\to \cdots$.

이와 유사하게 보통 코호몰로지 이론 및 특수 코호몰로지 이론도 정의할 수 있다.

예

흔히 다루는 특이 호몰로지, 체흐 코호몰로지, 드람 코호몰로지 등은 보통 (코)호몰로지 이론이다. K이론은 특수 코호몰로지 이론의 한 예다.

같이 보기

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