단조 수렴 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 틀:Llang)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 위의 음이 아닌 가측 함수의 열 $f_n:X\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$ ($n\in \mathbb{N}$) 및 함수 $f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• (증가 함수열) 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$
• (점별 수렴) 임의의 $x\in X$에 대하여, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$

단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.틀:Rp

• $f$는 가측 함수이다.
• $\underset{X}{\int }fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 $g_n:X\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_n$는 가측 함수이다.
• $\underset{X}{\int }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }{g}_{n}d\mu$

틀:증명 임의의 $a\in [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 각 $f_n$이 가측 함수이므로, $f_n^{-1}([0,a])\in \mathrm{\Sigma }$이며, 따라서

$f^{-1}([0,a])=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{f}_n^{-1}([0,a])\in \mathrm{\Sigma }$

이다. 즉, $f$는 가측 함수이다.

임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\mathrm{\forall }x\in X:f_n(x)\le f(x)$이므로,

$\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu \le \underset{X}{\int }fd\mu$

이며, 이에 $n\to \mathrm{\infty }$을 취하면

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu \le \underset{X}{\int }fd\mu$

을 얻는다.

이제, $\mathrm{\forall }x\in X:s(x)\le f(x)$인 임의의 단순 함수 $s$와 임의의 $0<\alpha <1$을 고정하고, 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여

$A_n=\{x\in X:\alpha s(x)\le f_n(x)\}\in \mathrm{\Sigma }$

라고 하자. 그렇다면, $A_0\subseteq A_1\subseteq \cdots$이며, $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=X$이다. 또한, 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

$\alpha \underset{A_n}{\int }sd\mu \le \underset{A_n}{\int }{f}_{n}d\mu \le \underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

이다. $n\to \mathrm{\infty }$을 취하면

$\alpha \underset{X}{\int }sd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

를 얻는다. 이는

$s=\sum _{i=1}^k{a}_i{1}_{S_i}(a_i\in [0,\mathrm{\infty }),S_i\in \mathrm{\Sigma })$

라고 할 때

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A_n}{\int }sd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^k{a}_i\mu (S_i\cap A_n)=\sum _{i=1}^k{a}_i\mu (S_i\cap X)=\underset{X}{\int }sd\mu$

이기 때문이다. 이제 $\alpha \to 1$을 취하면

$\underset{X}{\int }sd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

$\underset{X}{\int }fd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

이다.

따라서 양쪽 방향의 부등호가 성립하므로

$\underset{X}{\int }fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu$

을 얻는다. 틀:증명 끝

따름정리

급수에 대한 푸비니 정리

틀:본문 단조 수렴 정리를 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 위의 셈측도 공간 $(\mathbb{N},𝒫(\mathbb{N}),|\cdot |)$에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 $(a_{mn}{)}_{m,n\in \mathbb{N}}\subseteq [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}$

절대 연속 측도

틀:본문 임의의 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 음이 아닌 가측 함수 $f:X\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$에 대하여, 함수

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu (A\in \mathrm{\Sigma })$

는 $(X,\mathrm{\Sigma })$ 위의 측도를 이루며, 또한 이는 $\mu$-절대 연속 측도를 이룬다 (즉, $\mu (A)=0$은 $\nu (A)=0$을 함의한다). 틀:증명 임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 $A_0,A_1,\dots \subseteq \mathrm{\Sigma }$에 대하여, 각 $f{1}_{A_n}$은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

$\nu \left(\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{X}{\int }f{1}_{\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n}d\mu =\underset{X}{\int }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f{1}_{A_n}d\mu =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f{1}_{A_n}d\mu =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)$

이다. 따라서 $\nu$는 측도이다.

만약 $A\in \mathrm{\Sigma }$이며 $\mu (A)=0$이라면, $\mu$-거의 어디서나 $f{1}_A=0$이므로,

$\nu (A)=\int f{1}_{A}d\mu =0$

이다. 따라서 $\nu$는 $\mu$-절대 연속 측도이다. 틀:증명 끝

같이 보기

• 파투 보조정리
• 지배 수렴 정리

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki