아티야-싱어 지표 정리

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 틀:Llang)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.틀:Rp틀:Rp 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의

$M$이 $m$차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, $E^i$가 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. $M$ 위의 타원 복합체

$\cdots \stackrel{D_{i-2}}{⟶}\mathrm{\Gamma }(E_{i-1})\stackrel{D_{i-1}}{⟶}\mathrm{\Gamma }(E_i)\stackrel{D_i}{⟶}\mathrm{\Gamma }(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{⟶}\cdots$

의 해석적 지표(틀:Lang)는 다음과 같다.

$\mathrm{ind}(D_{\bullet })=\sum _i(-1{)}^i\dim (\ker D_i/\mathrm{im}{D}_{i-1})$

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 $\mathrm{ind}$는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 위상 지표(틀:Llang)는 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{ind}(D_{\bullet })=(-{)}^{m(m+1)/2}\underset{M}{\int }\mathrm{ch}(\underset{i}{⨁}(-1{)}^i{E}_i)\frac{\mathrm{Td}(\mathrm{T}M{\otimes }_{ℝ}ℂ)}{\mathrm{e}(\mathrm{T}M)}$

여기서

• $\mathrm{ch}$는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
• $\mathrm{Td}(\mathrm{T}M{\otimes }_{ℝ}ℂ)$는 $M$의 접다발 $\mathrm{T}M$의 복소화의 토드 특성류이다.
• $\mathrm{e}(\mathrm{T}M)$은 접다발 $\mathrm{T}M$의 오일러 특성류이다.

이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, $m=\dim M$이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자

$D:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(F)$

에 대하여, 이를 타원 복합체

$0\to \mathrm{\Gamma }(E)\stackrel{D}{\to }\mathrm{\Gamma }(F)\to 0$

로 간주하면, 다음을 얻는다.

$\dim \ker D-\dim \ker D^{†}=(-{)}^{m(m+1)/2}\underset{M}{\int }(\mathrm{ch}E-\mathrm{ch}F)\frac{\mathrm{Td}(\mathrm{T}{M}^{ℂ})}{\mathrm{e}(\mathrm{T}M)}$

예

수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표

$M$이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M)\otimes ℂ\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\otimes ℂ\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\otimes ℂ\stackrel{d}{\to }\cdots$

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 $\chi (M)$이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 $e(M)$의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(틀:Llang)

$\chi (M)=\underset{M}{\int }e(M)$

를 얻는다.

계산:

미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.

$\mathrm{ch}{\bigwedge }^k({\mathrm{T}}^{*}M\otimes ℂ)=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le m}\exp (-x_i)$

여기서 $x_i$는 ${\mathrm{T}}^{*}M\otimes ℂ$를 분할 원리로 $m$개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 $i$번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로

$x_{i+m/2}=-x_i$

로 놓을 수 있다.

즉

$\sum _{k=0}^m(-{)}^k\mathrm{ch}{\bigwedge }^k({\mathrm{T}}^{*}M\otimes ℂ)=\prod _{i=1}^k(1-\exp (-x_i))$

이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각

$\mathrm{Td}=\prod _{i=1}^m\frac{x_i}{1-\exp (-x_i)}$

$\mathrm{e}=\prod _{i=1}^{m/2}{x}_i$

이므로, 지표 밀도는

$(-{)}^{m(m+1)/2}(\sum _{k=0}^m(-{)}^k\mathrm{ch}{\bigwedge }^k({\mathrm{T}}^{*}M\otimes ℂ))\frac{\mathrm{Td}}{\mathrm{e}}=(-{)}^{m(m+1)/2}\prod _{i=m/2+1}^m{x}_i=(-{)}^{m(m+2)/2}\prod _{i=1}^{m/2}{x}_i=\mathrm{e}(\mathrm{T}M)$

이다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리

틀:본문 아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. $M$이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

${\mathrm{\Omega }}^{p,0}(E)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{p,1}(E)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }\cdots$

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 $E$의 코호몰로지의 오일러 지표

$\chi (M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\cdots$

이고, 그 위상 지표는

$\underset{M}{\int }\mathrm{ch}(E)\mathrm{Td}(TM)$

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

계산:

복소수 차원이 $n=m/2$라고 하자. 분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.

${\mathrm{T}}^{+}M=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$

또한

${\mathrm{c}}_1(L_i)=x_i$

라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{ch}\left({\bigwedge }^p{\mathrm{T}}^{-*}M\right)=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_p\le n}\exp (x_i)$

이며, 따라서

$\sum _{p=0}^n(-{)}^p\mathrm{ch}(E\otimes {\bigwedge }^p{\mathrm{T}}^{-*}M)=\mathrm{ch}(E)\prod _{i=1}^p(1-\exp x_i)$

이다.

이제

$\mathrm{Td}(\mathrm{T}M\otimes ℂ)=\mathrm{Td}({\mathrm{T}}^{+}M)\mathrm{Td}({\mathrm{T}}^{-}M)=\prod _{i=1}^m\frac{x_i(-x_i)}{(1-\exp (-x_i))(1-\exp x_i)}$

$\mathrm{e}(\mathrm{T}M)=x_1{x}_2\cdots x_n$

이므로, 지표 밀도는

$(-{)}^{n(2n+1)}\mathrm{ch}(E)\mathrm{Td}({\mathrm{T}}^{+}M)\prod _{i=1}^n\frac{(-x_i)(1-\exp x_i)}{x_i(1-\exp x_i)}=\mathrm{ch}(E)\mathrm{Td}({\mathrm{T}}^{+}M)$

이다.

$E$가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 $\mathrm{ind}\overline{\partial }$이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

$\mathrm{ind}\overline{\partial }=\underset{M}{\int }\mathrm{Td}(TM)$

디랙 연산자

$M$이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발

$\mathrm{S}(M)={\mathrm{S}}^{+}(M)\oplus {\mathrm{S}}^{-}(M)$

을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자

$i{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }=\left(\begin{array}{cc}0& D\\ D^{†}& 0\end{array}\right)$

는 다음과 같이 작용한다.

$S^{+}(M)\stackrel{D}{\to }{S}^{-}(M)$

$S^{+}(M)\stackrel{D^{†}}{\leftarrow }{S}^{-}(M)$

이에 따라, 디랙 연산자 $D$의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

$\mathrm{ind}(D)=\ker D-\ker D^{†}=\underset{M}{\int }\hat{A}$

여기서 $\hat{A}$는 디랙 종수(틀:Llang) 또는 Â 종수(틀:Llang)라고 불리는 특성류로,

$\hat{A}=\prod _{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh (x_i/2)}=1-\frac{1}{24}{p}_1+\frac{1}{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\cdots \in {\mathrm{H}}^{2\bullet }(M;\mathbb{Q})$

이다. 여기서 $p_i$는 폰트랴긴 특성류이고, $x_i$는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 $R$의 고윳값들

$-R/2\pi =\left(\begin{array}{cc}0& x_1\\ -x_1& 0\\ & & 0& x_2\\ & & -x_2& 0\\ & & & & 0& x_3\\ & & & & -x_3& 0\\ & & & & & & \ddots \end{array}\right)$

이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사

마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메(틀:Llang)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다. 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(틀:Llang)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다. 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab