삼각 치환

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 틀:Llang)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.틀:Rp

$R(x,\sqrt{a^2-x^2}),R(x,\sqrt{a^2+x^2}),R(x,\sqrt{x^2-a^2})$

여기서 $R$는 유리 함수이며 $a>0$이다. 이는 $R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 $x$를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.틀:Rp틀:Rp

적분	치환				항등식
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm{d}x$	$x=a\sin \theta$	$-\pi /2\le \theta \le \pi /2$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta$	$\mathrm{d}x=a\cos \theta \mathrm{d}\theta$	$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$
	$x=a\cos \theta$	$0\le \theta \le \pi$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\sin \theta$	$\mathrm{d}x=-a\sin \theta \mathrm{d}\theta$	$1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm{d}x$	$x=a\tan \theta$	$-\pi /2<\theta <\pi /2$	$\sqrt{a^2+x^2}=a\sec \theta$	$\mathrm{d}x=a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta$	$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$
	$x=a\cot \theta$	$0<\theta <\pi$	$\sqrt{a^2+x^2}=a\csc \theta$	$\mathrm{d}x=-a{\csc }^2\theta \mathrm{d}\theta$	$1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm{d}x$	$x=a\sec \theta$	$0\le \theta \le \pi \wedge \theta \ne \pi /2$	$\sqrt{x^2-a^2}=\{\begin{array}{cc}a\tan \theta & x>a\wedge 0\le \theta <\pi /2\\ -a\tan \theta & x<-a\wedge \pi /2<\theta \le \pi \end{array}$	$\mathrm{d}x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm{d}\theta$	${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$
	$x=a\csc \theta$	$-\pi /2\le \theta \le \pi /2\wedge \theta \ne 0$	$\sqrt{x^2-a^2}=\{\begin{array}{cc}a\cot \theta & x>a\wedge 0<\theta \le \pi /2\\ -a\cot \theta & x<-a\wedge -\pi /2\le \theta <0\end{array}$	$\mathrm{d}x=-a\csc \theta \cot \theta \mathrm{d}\theta$	${\csc }^2\theta -1={\cot }^2\theta$

새 변수 $\theta$의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.틀:Rp 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.틀:Rp틀:Rp

예

$\sqrt{a^2-x^2}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.틀:Rp틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

여기서 $a>0$이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

$x=a\sin \theta ,\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta ,\mathrm{d}x=a\cos \theta \mathrm{d}\theta ,\theta =\arcsin \frac{x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$=\int \frac{a\cos \theta \mathrm{d}\theta }{a\cos \theta }$	(치환)
	$=\int \mathrm{d}\theta$	(단순화)
	$=\theta +C$	(적분)
	$=\arcsin \frac{x}{a}+C$	(재치환)

이 적분은 $x/a=t$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.틀:Rp

$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$	$=\int a^2{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta$	(치환)
	$=\int \frac{a^2}{2}(1+\cos 2\theta )\mathrm{d}\theta$	(삼각 항등식)
	$=\frac{a^2}{2}\theta +\frac{a^2}{4}\sin 2\theta +C$	(적분)
	$=\frac{a^2}{2}\theta +\frac{a^2}{2}\sin \theta \cos \theta +C$	(삼각 항등식)
	$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C$	(재치환)
	$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

$\sqrt{a^2+x^2}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음을 구하자.틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\tan \theta ,\sqrt{a^2+x^2}=a\sec \theta ,\mathrm{d}x=a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta ,\theta =\arctan \frac{x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}$	$=\int \frac{a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta }{a^2{\sec }^2\theta }$	(치환)
	$=\int \frac{1}{a}\mathrm{d}\theta$	(단순화)
	$=\frac{\theta }{a}+C$	(적분)
	$=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}$	$=\int \frac{a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta }{a\sec \theta }$	(치환)
	$=\int \frac{\mathrm{d}\theta }{\cos \theta }$	(단순화)
	$=\int \frac{\cos \theta \mathrm{d}\theta }{{\cos }^2\theta }$	(변형)
	$=\int \frac{\mathrm{d}(\sin \theta )}{1-{\sin }^2\theta }$	(치환)
	$=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }\right|+C$	(적분)
	$=\frac{1}{2}\ln {\left|\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }\right|}^2+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln |\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C$	(재치환)
	$=\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\sinh t$을 통해서도 구할 수 있다.

$\sqrt{x^2-a^2}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

편의상 $x>0$이라고 하고 다음을 구하자.틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-a^2}}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\sec \theta ,\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan \theta |,\mathrm{d}x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm{d}\theta ,\theta =\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-a^2}}$	$=\int \frac{a\sec \theta \tan \theta \mathrm{d}\theta }{a^2\sec \theta |\tan \theta |}$	(치환)
	$=\{\begin{array}{cc}\int \frac{\mathrm{d}\theta }{a}& x>a\\ -\int \frac{\mathrm{d}\theta }{a}& x<-a\end{array}$	(단순화)
	$=\{\begin{array}{cc}\frac{\theta }{a}+C& x>a\\ -\frac{\theta }{a}+C^{\prime }& x<-a\end{array}$	(적분)
	$=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}+C& x>a\\ -\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}+C^{\prime }& x<-a\end{array}$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}$	$=\int \frac{a\sec \theta \tan \theta \mathrm{d}\theta }{a|\tan \theta |}$	(치환)
	$=\{\begin{array}{cc}\int \frac{\mathrm{d}\theta }{\cos \theta }& x>a\\ -\int \frac{\mathrm{d}\theta }{\cos \theta }& x<-a\end{array}$	(단순화)
	$=\{\begin{array}{cc}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C& x>a\\ -\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C^{\prime }& x<-a\end{array}$	(적분)
	$=\{\begin{array}{cc}\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C& x>a\\ -\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C^{\prime }& x<-a\end{array}$	(재치환)
	$=\{\begin{array}{cc}\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C& x>a\\ -\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C^{\prime }& x<-a\end{array}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\cosh t$를 통해서도 구할 수 있다.

정적분

다음과 같은 적분을 구하자.틀:Rp

$\underset{\sqrt{3}}{\overset{2}{\int }}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x}\mathrm{d}x$

다음을 사용하자.

$x=\sqrt{3}\sec \theta ,\sqrt{x^2-3}=\sqrt{3}\tan \theta ,\mathrm{d}x=\sqrt{3}\sec \theta \tan \theta ,\theta =\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}$

만약 $x=\sqrt{3}$일 경우 $\cos \theta =1$이므로 $\theta =0$이며, 만약 $x=2$일 경우 $\cos \theta =\sqrt{3}/2$이므로 $\theta =\pi /6$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\underset{\sqrt{3}}{\overset{2}{\int }}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x}\mathrm{d}x& =\sqrt{3}\underset{0}{\overset{\pi /6}{\int }}{\tan }^2\theta \mathrm{d}\theta \\ & =\sqrt{3}\underset{0}{\overset{\pi /6}{\int }}({\sec }^2\theta -1)\mathrm{d}\theta \\ & =\sqrt{3}[\tan \theta -\theta {]}_0^{\pi /6}\\ & =1-\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\end{array}$

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:매스월드