치환 적분

미적분학에서 치환 적분(置換積分, 틀:Llang)은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

부정적분의 경우

틀:참고 구간 $I\subseteq ℝ$와 함수 $g:I\to ℝ$ 및 $f:g(I)\to ℝ$이 주어졌다고 하자.

• 만약 $f$의 부정적분 $F$가 존재하고, $g$가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

  $\int f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u=F(g(x))+C$

• 만약 $(f\circ g)\cdot g^{\prime }$의 원함수 $H$가 존재하고, $g$가 미분 가능 함수이며, 모든 $t\in I$에 대하여 $g^{\prime }(t)\ne 0$이라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

  $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(g(t))g^{\prime }(t)\mathrm{d}t=H(g^{-1}(x))+C$

정적분의 경우

틀:참고 만약 $g:[a,b]\to ℝ$가 연속 미분 가능 함수이며, $f:g([a,b])\to ℝ$가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

증명

부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 $F^{\prime }=f$이며, $g$가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면 $(F\circ g{)}^{\prime }=(f\circ g)\cdot g^{\prime }$을 얻는다. 즉, $(f\circ g)\cdot g^{\prime }$의 한 원함수는 $F\circ g$이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 $t\in I$에 대하여 $g^{\prime }(t)\ne 0$이므로, 다르부 정리에 따라 모든 $t\in I$에 대하여 $g^{\prime }(t)>0$이거나 모든 $t\in I$에 대하여 $g^{\prime }(t)<0$이다. 따라서 $g^{-1}$는 존재한다. $H^{\prime }=(f\circ g)\cdot g^{\prime }$이며, $(g^{-1}{)}^{\prime }=1/(g^{\prime }\circ g^{-1})$이므로, 다음이 성립한다.

$(H\circ g^{-1}{)}^{\prime }=(H^{\prime }\circ g^{-1})\cdot (g^{-1}{)}^{\prime }=f\cdot (g^{\prime }\circ g^{-1})\cdot \frac{1}{g^{\prime }\circ g^{-1}}=f$

즉, $f$의 한 원함수는 $H\circ g^{-1}$이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 $f$와 $(f\circ g)\cdot g^{\prime }$는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라, $f$의 한 원함수를 $F$라고 하면, $(f\circ g)\cdot g^{\prime }$의 한 원함수는 $F\circ g$이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=[F(x){]}_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a))=[F(g(t)){]}_a^b=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

예 (부정적분)

첫째 예 (부정적분)

부정적분

$\int \sqrt{2x+1}\mathrm{d}x$

에서 $u=2x+1$이라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$이므로 $\mathrm{d}x=(\mathrm{d}u)/2$이다. 따라서 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{2x+1}\mathrm{d}x& =\int \sqrt{u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{2}\\ & =\frac{1}{2}\int u^{1/2}\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{2}\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\ & =\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C\\ & =\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}+C\end{array}$

둘째 예 (부정적분)

부정적분

$\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x$

에서 $u=x^2+1$이라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$이므로 $x\mathrm{d}x=(\mathrm{d}u)/2$이다. 따라서 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{u}\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)\ln |u|+C\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)\ln (x^2+1)+C\end{array}$

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.틀:Rp

$\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$

셋째 예 (부정적분)

부정적분

$\int \tan x\mathrm{d}x$

에서 $u=\cos x$라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x$이므로 $\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$이다. 따라서 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\int \tan x\mathrm{d}x& =\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\\ & =-\int \frac{\mathrm{d}u}{u}\\ & =-\ln |u|+C\\ & =-\ln |\cos x|+C\\ & =\ln |\sec x|+C\end{array}$

넷째 예 (부정적분)

부정적분

$\int \frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$

에서 $(\mathrm{d}x)/x=\mathrm{d}(\ln x)$이므로 다음이 성립한다.틀:Rp

$\int \frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C$

다섯째 예 (부정적분)

부정적분

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$

에서 $x=t^6$이라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}x=6t^5\mathrm{d}t$이므로 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}& =6\int \frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm{d}t\\ & =6\int \frac{t^3}{t+1}\mathrm{d}t\\ & =6\int (t^2-t+1-\frac{1}{t+1})\mathrm{d}t\\ & =2t^3-3t^2+6t-6\ln |1+t|+C\\ & =2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln |1+\sqrt[6]{x}|+C\end{array}$

예 (정적분)

첫째 예 (정적분)

정적분

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}2x\cos x^2\mathrm{d}x$

에서 $u=x^2$라고 하자. 그러면 $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$이다. 또한 $x=0$일 때 $u=0$이며 $x=2\pi$일 때 $u=4{\pi }^2$이다. 따라서 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}2x\cos x^2\mathrm{d}x& =\underset{0}{\overset{4{\pi }^2}{\int }}\cos u\mathrm{d}u\\ & =[\sin u{]}_0^{4{\pi }^2}\\ & =\sin 4{\pi }^2\end{array}$

둘째 예 (정적분)

정적분

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x(a>0)$

에서 $x=a\sin t$ ($0\le t\le \pi /2$)라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}x=a\cos t\mathrm{d}t$이다. 또한 다음이 성립한다.

$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2{\sin }^{2}t}=\sqrt{a^2{\cos }^{2}t}=a\cos t$

마지막에 양수를 취한 것은 모든 $0\le t\le \pi /2$에 대하여 $\cos t>0$이기 때문이다. 또한 $x=0$일 때 $t=0$이며, $x=a$일 때 $t=\pi /2$이므로, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x& =a^2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t\\ & =\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(1+\cos 2t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{a^2}{2}[t+\frac{1}{2}\sin 2t{]}_0^{\pi /2}\\ & =\frac{\pi }{4}{a}^2\end{array}$

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

응용

홀함수와 짝함수의 적분

치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. $f:[-a,a]\to ℝ$가 연속 함수라고 하자.

• 만약 $f$가 홀함수라면 (모든 $x\in [-a,a]$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$라면), 다음이 성립한다.

  $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=0$

• 만약 $f$가 짝함수라면 (모든 $x\in [-a,a]$에 대하여 $f(-x)=f(x)$라면), 다음이 성립한다.

  $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 $f$가 홀함수라면, 치환 적분 $x=-t$을 쓴 뒤 $f(-t)=-f(t)$를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

$\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(-t)\mathrm{d}t=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

만약 $f$가 짝함수라면, 치환 적분 $x=-t$을 쓴 뒤 $f(-t)=f(t)$를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.틀:Rp

$\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(-t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

주기 함수의 적분

치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. $f:ℝ\to ℝ$가 $T>0$를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의 $a\in ℝ$에 대하여 다음이 성립한다.

$\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 $x=t+T$를 쓴 뒤 $f(t+T)=f(t)$를 대입하면 다음을 얻는다.

$\underset{T}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t+T)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.틀:Rp

$\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=(\underset{a}{\overset{0}{\int }}+\underset{0}{\overset{T}{\int }}+\underset{T}{\overset{a+T}{\int }})f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

같이 보기

• 부정적분#치환 적분
• 리만 적분#치환 적분
• 변수 변환
• 삼각 치환
• 쌍곡 치환
• 바이어슈트라스 치환
• 오일러 치환
• 부분 적분

외부 링크

• 틀:Eom