벡터 값 미분 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 벡터 값 미분 형식(vector값微分形式, 틀:Llang)의 개념은 미분 형식의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 미분 형식 다발과 임의의 벡터 다발과의 텐서곱 다발의 단면이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 당김과 쐐기곱이 정의되지만, 일반적으로 외미분은 정의되지 않는다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $M$ 위의 $E$값 미분 형식들의 벡터 다발은 다음과 같다.

$E\otimes \underset{p=0}{\overset{\dim M}{⨁}}{\bigwedge }^p{\mathrm{T}}^{*}M$

즉, $E$값의 $p$차 미분 형식은 다음 단면 공간의 원소이다.

${\mathrm{\Omega }}^p(M;E)=\mathrm{\Gamma }(E\otimes {\bigwedge }^p{\mathrm{T}}^{*}M)={\mathrm{\Omega }}^p(M){\otimes }_{{\mathrm{\Omega }}^0(M)}\mathrm{\Gamma }(E)$

특히, ${\mathrm{\Omega }}^0(M;E)=\mathrm{\Gamma }(E)$이며, 또한 자명한 벡터 다발 $E=M\times ℝ$에 대하여 ${\mathrm{\Omega }}^p(M;E)={\mathrm{\Omega }}^p(M)$이다.

만약 $E=M\times V$가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 ${\mathrm{\Omega }}^p(M;E)$를 ${\mathrm{\Omega }}^p(M;V)$로도 표기한다.

연산

당김

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$과 $N$
• 매끄러운 함수 $f:N\to M$
• $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$
• $M$ 위의, $E$값의 $p$차 미분 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^p(M;E)$

그렇다면, $\omega$의, $f$에 대한 당김

$f^{*}\omega \in {\mathrm{\Omega }}^p(N;f^{*}E)$

를 자연스럽게 정의할 수 있다.

쐐기곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E$, $F$
• $M$ 위의, $E$값의 $p$차 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^p(M;E)$
• $M$ 위의, $F$값의 $q$차 미분 형식 $\beta \in {\mathrm{\Omega }}^p(M;E)$

그렇다면, $\alpha$와 $\beta$의 쐐기곱

$\alpha \wedge \beta \in {\mathrm{\Omega }}^{p+q}(M;E\otimes F)$

을 정의할 수 있다.

리 대수 쐐기곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$. 또한, $E$의 각 올들이 단순히 실수 벡터 공간이 아니라, 실수 리 대수 $𝔤$의 구조를 갖춘다고 하자.
• $E$값의 $p$차 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^p(M;E)$
• $E$값의 $q$차 미분 형식 $\beta \in {\mathrm{\Omega }}^q(M;E)$

그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, 리 괄호를 동시에 적용한 연산

$[\alpha \wedge \beta ]\in {\mathrm{\Omega }}^{p+q}(M;E)$

를 정의할 수 있다. 이 경우,

$[\alpha \wedge \beta ]=(-1{)}^{pq+1}[\beta \wedge \alpha ]$

가 성립한다.

외미분

일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) 외미분을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다.

보다 일반적으로, 벡터 다발에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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