가우스 합성

틀:위키데이터 속성 추적 이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, 틀:Llang)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

정의

이차 형식

가환환 $R$ 위의 2차 자유 가군 $R^2$ 위의 두 이차 형식

$Q,Q^{\prime }:R^2\to R$

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자.

$Q\sim Q^{\prime }⟺\mathrm{\exists }M\in \mathrm{GL}(2;R),r\in R^{\times }=\mathrm{GL}(1;R):rQ(M(-))=Q^{\prime }$

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 $R$-자유 가군 $L$의 값을 갖는 함수

$Q:V\to L$

로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은

$Q\in {\mathrm{Sym}}_R^2{V}^{*}{\otimes }_{R}L=L{\otimes }_R\frac{V^{*}{\otimes }_R{V}^{*}}{(u{\otimes }_{R}v-v{\otimes }_{R}u{)}_{u,v\in V^{*}}}$

이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 계수 2의 ${𝒪}_X$-국소 자유 가군층 $V$ 및 ${𝒪}_X$-가역 가군층 $L$이 주어졌을 때, $V$ 위의 $L$ 값의 이차 형식

$Q\in \mathrm{\Gamma }(X;{\mathrm{Sym}}_{{𝒪}_X}^2(V){\otimes }_{{𝒪}_X}L)$

은 ${𝒪}_X$-가군층 ${\mathrm{Sym}}_{{𝒪}_X}^2(V){\otimes }_{{𝒪}_X}L$의 단면이다.

판별식

만약 $R$가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 $R^2$ 위의 이차 형식

$Q:R^2\to R$

$Q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$

의 판별식은 $\mathrm{Disc}(Q)=b^2-4ac$이다.

보다 일반적으로, 스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의, 2차 ${𝒪}_X$-국소 자유 가군층 $ℳ$ 위의, ${𝒪}_X$-가역층 $ℒ$ 값의 이차 형식

$Q\in \mathrm{\Gamma }({\mathrm{Sym}}_{{𝒪}_X}^2(M^{*}){\otimes }_{{𝒪}_X}ℒ)$

의 판별식 $\mathrm{Disc}(Q)$는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 ${𝒪}_X$-가역층의 대역적 단면을 이룬다.

$\mathrm{Disc}(Q)\in \mathrm{\Gamma }(X;{({\mathrm{Sym}}_{{𝒪}_X}^2(M^{*}){\otimes }_{{𝒪}_X}ℒ)}^{\otimes 2})$

이차 대수

가환환 $R$ 위의 이차 대수(틀:Llang) $R\to A$는 다음과 같은 가환 $R$-결합 대수이다.

• 임의의 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여 $A{\otimes }_R{R}_{𝔭}$는 2차 $R_{𝔭}$-자유 가군이다. (즉, $A$는 계수 2의 $R$-평탄 가군이다.)

$R$ 위의 이차 대수 $A$ 위의 가군 $M$이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군(틀:Llang)이라고 한다.

• $M$은 $R$ 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
• 임의의 원소 $a\in A$에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

  ${\mathrm{tr}}_{A/R}:A\to R$

  ${\mathrm{tr}}_{A/R}:a\mapsto {\mathrm{tr}}_R(a\cdot :A\to A)$

  ${\mathrm{tr}}_{M/R}:A\to R$

  ${\mathrm{tr}}_{M/R}:a\mapsto {\mathrm{tr}}_R(a\cdot :M\to M)$

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 이차 대수층은 ${𝒪}_X$-가환 대수층 가운데 2차 ${𝒪}_X$-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 $𝒜$ 위의 대각합 가능 가군층 $ℳ$은 $𝒜$-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

• ${𝒪}_X$-가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$의 단면 $a\in \mathrm{\Gamma }(U;𝒜)$에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

  ${\mathrm{tr}}_{𝒜/{𝒪}_X}:\mathrm{\Gamma }(U;𝒜)\to \mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)$

  ${\mathrm{tr}}_{𝒜/{𝒪}_X}:a\mapsto {\mathrm{tr}}_{\mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)}(a\cdot :A\to A)$

  ${\mathrm{tr}}_{ℳ/{𝒪}_X}:A\to R$

  ${\mathrm{tr}}_{ℳ/{𝒪}_X}:a\mapsto {\mathrm{tr}}_{\mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)}(a\cdot :M\to M)$

두 $A$-가군 $M,M^{\prime }$이 주어졌을 때, 텐서곱 $M{\otimes }_A{M}^{\prime }$을 정의할 수 있으므로, $A$-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. $A$-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

판별식

스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 이차 대수층 $𝒜$ 위의 대각합 가능 가군층 $ℳ$의 판별식은 대각합 사상

${\mathrm{tr}}_{𝒜/{𝒪}_X}:𝒜\to {𝒪}_X$

의 행렬식

$\mathrm{Disc}(𝒜,ℳ)=\det \left({\mathrm{tr}}_{𝒜/{𝒪}_X}\right)\in \mathrm{\Gamma }(X;{\left({\bigwedge }^2𝒜\right)}^{\otimes (-2)})$

이다. 이는 ${𝒪}_X$-가역층 ${\left({\bigwedge }^2𝒜\right)}^{\otimes (-2)}$의 대역적 단면이다.

가우스 합성

임의의 가환환 $R$ 및 그 위의 2차 자유 가군 $V=R^2$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• $V$ 위의 이차 형식들 $Q:V\to L$의 동치류들의 집합
• $R$ 위의 이차 대수 $A$와 그 위의 대각합 가능 가군 $M$들의 동치류들의 집합

구체적으로, $(A,M)$이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 $R$-가군 준동형을 생각하자.

$(A/R){\otimes }_R{\bigwedge }^2(M;R)\to {\mathrm{Sym}}^2(M;R)$

$(a+R){\otimes }_R(m{\wedge }_R{m}^{\prime })\mapsto (am){\otimes }_R{m}^{\prime }-m{\otimes }_R(a{m}^{\prime })$

이는 $R$-가군

${((A/R){\otimes }_R{\bigwedge }^2(M;R)\to {\mathrm{Sym}}^2(M;R))}^{*}{\otimes }_R{\mathrm{Sym}}^2(M;R)$

의 원소를 정의하며, 이는 $M^{*}$ 위에 정의된,

$L={((A/R){\otimes }_R{\bigwedge }^2(M;R)\to {\mathrm{Sym}}^2(M;R))}^{*}$

값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 $Q$가 원시 이차 형식(틀:Llang)인 것은 $M$이 $A$-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다.

예

정수환의 경우

$\mathbb{Z}$ 위의 이차 형식의 $\mathrm{GL}(2;\mathbb{Z})\times \mathrm{GL}(1;\mathbb{Z})$-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.

• 2차 $\mathbb{Z}$-환 $A_D$. 이는 그 판별식 $D\in 4\mathbb{Z}+\{0,1\}$으로부터 다음과 같이 결정된다.

  $A_D=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}[t]/(t^2)& D=0\\ \mathbb{Z}\cdot (1,1)+\sqrt{D}({\mathbb{Z}}^2)& \sqrt{D}\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\\ \mathbb{Z}\left[\frac{D+\sqrt{D}}{2}\right]& \sqrt{D}\in ̸\mathbb{Z}\end{array}$

• $A$-가군 $M$ 가운데 아벨 군으로서 ${\mathbb{Z}}^2$이며, ${\mathrm{tr}}_{A/\mathbb{Z}}:A\to \mathbb{Z}$가 ${\mathrm{tr}}_{M/\mathbb{Z}}:A\to \mathbb{Z}$가 같은 것 (둘째 조건은 $M$이 $A$-아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, $D\ne 0$일 때, $M$은 항상 $A_D$의 아이디얼과 동형이다. 그러나 $D=0$일 경우 일반적으로 $M$은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 $A_0=\mathbb{Z}[t]/(t^2)$이며 $M=\mathbb{Z}x\oplus \mathbb{Z}y$, $tx=ty=0_M$이다.

$\mathbb{Z}$ 위의 이차 형식의 $\mathrm{GL}(2;\mathbb{Z})$-동치류를 분류하려면, $(A,M)$ 및 $M$의 방향 $ϵ\in \{\pm 1\}$을 사용하여야 한다.

정역의 경우

가환환 $R$가 정역일 때, $R$ 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 $A$ 및 $A$-가군 $M$에 대하여, $M$은 항상 $A$의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

역사

카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

같이 보기

• 페르마 두 제곱수 정리
• 르장드르 기호

각주

• 틀:서적 인용틀:깨진 링크
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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