형식적 군 법칙

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서, 형식적 군 법칙(形式的群法則, 틀:Llang)은 리 군의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.

정의

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자.

형식적 변수 ${𝗑}_1,{𝗑}_2,\dots ,{𝗑}_n,{𝗒}_1,{𝗒}_2,\dots ,y_n$을 생각하자. 편의상 이들을

$𝗑=({𝗑}_1,\dots ,{𝗑}_n)$

$𝗒=({𝗒}_1,\dots ,{𝗒}_n)$

와 같이 표기하자.

이에 대한 형식적 멱급수환

$K[[𝗑,𝗒]]$

을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙은 $n$개의 형식적 멱급수

$F=(F_1,F_2,\dots ,F_n)$

$F_1,\dots ,F_n\in K[[𝗑,𝗒]]$

로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$F(𝗑,𝗒)=𝗑+𝗒+O({𝗑}^2,{𝗒}^2,𝗑𝗒)$ (군 법칙의 최소차항)

$F(𝗑,F(𝗒,𝗓))=F(F(𝗑,𝗒),𝗓)$ (형식적 결합 법칙)

형식적 군 법칙 $F$가 다음 조건을 따른다면, 가환 형식적 군 법칙(틀:Llang)이라고 한다.

$F(𝗑,𝗒)=F(𝗒,𝗑)$

준동형

같은 가환환 $K$를 계수로 하는 $m$차원 형식적 군 법칙 $F$와 $n$차원 형식적 군 법칙 $G$ 사이의 형식적 군 법칙 준동형(틀:Llang) $f:F\to G$은 다음 조건을 만족시키는 다항식

$f_1,f_2,\dots ,f_n\in K[[{𝗑}_1,{𝗑}_2,\dots ,{𝗑}_n]]$

이다.

$G(f(𝗑),f(𝗒))=f(F(𝗑,𝗒))$

역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는 $m=n$일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이

$f(𝗑)=𝗑+O({𝗑}^2)$

이라면, 이를 순동형(純同形, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙 $F$에 대하여, 항상

$F(𝗑,G(𝗑))=0$

인 $G\in K[[𝗑]]$가 존재한다.

로그

만약 가환환 $K$가 유리수체 $\mathbb{Q}$를 포함한다면, $K$ 계수의 임의의 $n$차원 형식적 군 법칙 $F$는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형 $\log$에 대하여

$\log (F(𝗑,𝗒))=f(𝗑)+f(𝗒)$

가 된다.

리 대수와의 관계

임의의 $n$차원 형식적 군 법칙

$F_i(𝗑,𝗒)={𝗑}_i+{𝗒}_i+\sum _{j,k}{f}_i{}^{jk}{𝗑}^j{𝗒}^k+\sum _{j,k}f{\text{'}}_i{}^{jk}{𝗑}^j{𝗑}^k+\sum _{j,k}{f}^{\prime }{\text{'}}_i{}^{jk}{𝗒}^j{𝗒}^k\cdots$

에서, $f_i{}^{jk}$는 $n$차원 리 대수를 정의한다.

$[x,y]+O(x^3,y^3,x{y}^2,y{x}^2)=F(x,y)-F(y,x)$

표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.

예

덧셈 형식적 군 법칙은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.

$F(𝗑,𝗒)=𝗑+𝗒$

임의의 $a\in K$에 대하여, 곱셈 군 법칙은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.

$F(𝗑,𝗒)=𝗑+𝗒+u𝗑𝗒$

리 군의 형식적 군 법칙

$n$차원 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 리 대수 $𝔩𝔦𝔢(G)$의 임의의 기저를 잡고, 리 지수 함수

$\exp :𝔩𝔦𝔢(G)\to G$

로서 $G$의, 항등원 $1\in G$ 근방의 국소 좌표계를 정의할 수 있다. $G$의 곱셈은 매끄러운 함수이므로 이에 대한 테일러 급수를 취할 수 있으며, 이는 $n$차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다.

특수 상대성 이론

특수 상대성 이론의 속도 덧셈 공식

$F(𝗑,𝗒)=\frac{𝗑+𝗒}{1+𝗑\cdot 𝗒}$

은 형식적 군 법칙을 이룬다.

역사

잘로몬 보흐너(틀:Llang)가 1946년에 도입하였다.

같이 보기

• 비트 벡터

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab