피타고라스 평균

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 피타고라스 평균은 전통적인 평균인 산술 평균(A), 기하 평균(G), 조화 평균(H)을 말한다. 각각은 아래와 같이 정의된다.

• $A(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$
• $G(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$
• $H(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

각 평균은 다음 성질을 가진다.

• 값 보존: $M(x,x,\dots ,x)=x$
• 1차 동차함수: $M(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=bM(x_1,\dots ,x_n)$
• 교환 법칙: $M(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=M(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$ for any $i$ and $j$.
• 평균 부등식: $\min (x_1,\dots ,x_n)\le M(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

이들 평균은 피타고라스 학파와 후대의 그리스 수학자에 의해 연구되었다.

이차 평균 $Q=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$를 포함해서 평균 사이에는 다음 부등식이 성립한다:

$\min \le H\le G\le A\le Q\le \max$

또한 등호는 모든 $x_i$ 값이 같을 때에만 성립한다.

같이 보기

• 산술 기하 평균
• 멱평균