푸앵카레-벤딕손 정리

틀:위키데이터 속성 추적 동적계 이론에서 푸앵카레-벤딕손 정리(틀:Llang)는 2차원 평면 위의 연속 시간 동적계에서는 혼돈이 일어나지 않는다는 정리이다.

정의

$U\subseteq {ℝ}^2$가 평면 속의 열린집합이라고 하자. $U$ 위의 2차원 연속 시간 동역학계

$\mathrm{\Phi }:ℝ\times U\to U$

$\mathrm{\Phi }(t,\mathrm{\Phi }(t^{\prime },x))=\mathrm{\Phi }(t+t^{\prime },x)\mathrm{\forall }t,t^{\prime }\in ℝ,x\in U$

가 ${𝒞}^1$ 함수라고 하자.

$x\in U$의 궤도(틀:Llang) $\gamma (x)$는 다음과 같다.

$\gamma (x):=\{\mathrm{\Phi }(t,x):t\in ℝ\}$

$x\in U$의 ω₊-극한 집합(틀:Llang) ${\omega }_{+}(x)$은 다음과 같다.

${\omega }_{+}(x):=\{y\in U:\mathrm{\exists }(t_i{)}_{i\in \mathbb{N}}:\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_i=\mathrm{\infty },\lim \mathrm{\Phi }(t_i,x)=y\}$

$x\in U$의 ω₋-극한 집합(틀:Llang) ${\omega }_{-}(x)$은 다음과 같다.

${\omega }_{-}(x):=\{y\in U:\mathrm{\exists }(t_i{)}_{i\in \mathbb{N}}:\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_i=-\mathrm{\infty },\lim \mathrm{\Phi }(t_i,x)=y\}$

${\omega }_{+}(x)$가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\omega }_{+}(x)\ne \varnothing$
• ${\omega }_{+}(x)$는 콤팩트 집합이다.
• ${\omega }_{+}(x)$는 연결 공간이다.
• ${\omega }_{+}(x)$에 속하는 고정점은 유한 개이다.

그렇다면, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.틀:Rp

• ${\omega }_{+}(x)=\{x_1\}$는 고정점이다.
• ${\omega }_{+}(x)=\gamma (y)$는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉, $\mathrm{\Phi }(t,y)=y$인 $t>0$가 존재한다.
• ${\omega }_{+}(x)=\{x_1,\dots ,x_k\}\cup \gamma (y_1)\cup \cdots \cup \gamma (y_n)$는 유한 개의 고정점 $x_1,\dots ,x_k$과 비주기 궤도 $\gamma (y_1),\dots ,\gamma (y_n)$들로 구성되며, 모든 $i=1,\dots ,n$ 및 $\sigma \in \{+,-\}$에 대하여, ${\omega }_{\sigma }(y_i)=\{x_{j(\sigma ,i)}\}$가 되는 $j:\{+,-\}\times \{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,k\}$가 존재한다. 즉, 각 $\gamma (y_i)$는 $x_{j(-,i)}$에서 $x_{j(+,i)}$로 가는 궤도이다.

${\omega }_{-}$에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다.

1차원 푸앵카레-벤딕손 정리

푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다.틀:Rp 즉, $ℝ$의 열린집합 위에서의 연속 시간 ${𝒞}^1$ 동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결 ${\omega }_{+}$-극한 집합은 다음 두 가지 가운데 하나이다.

• ${\omega }_{+}(x)=\{x_1\}$은 고정점이다.
• ${\omega }_{+}(x)=[x_0,x_1]$에서, $x_0$과 $x_1$은 고정점이며, $\gamma (y)=(x_0,x_1)$인 $y\in (x_0,x_1)$가 존재한다.

이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 중간값 정리의 보조 정리이다.

예

푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, 원환면 위에서는 콤팩트 조밀 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우, ${\omega }_{+}$-극한 집합은 원환면 전체가 된다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 로렌즈 방정식과 같이 야릇한 끌개가 존재할 수 있다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동적계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 사상은 혼돈 현상을 보이지만, 1차원 계이다.

역사

앙리 푸앵카레 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에 이바르 오토 벤딕손(틀:Llang)이 엄밀한 증명을 제시하였다.

같이 보기

• 회전수

외부 링크

• 틀:Eom