극한 집합

틀:위키데이터 속성 추적 동역학계 이론에서 ${\omega }_{\pm }$-극한 집합(${\omega }_{\pm }$-極限集合, 틀:Llang)은 무한한 시간이 경과하였을 때 주어진 초기 상태의 동역학계가 수렴하게 되는 상태들의 집합이다.

정의

위상 공간 $X$ 위에 동역학계

$\varphi :T\times X\to X$

가 주어졌다고 하자. 여기서 흐름(연속 시간 동역학계)의 경우 $T=ℝ$이며, 사상(이산 시간 동역학계)의 경우 $T=\mathbb{Z}$이다.

그렇다면, 초기 조건 $x\in X$의 ${\omega }_{+}$-극한 집합(틀:Llang) 및 ${\omega }_{-}$-극한 집합(틀:Llang)은 다음과 같다.

$\underset{{\omega }_{+}}{\lim }x=\bigcap _{t\in T}\mathrm{cl}\{\varphi (t^{\prime },x):t^{\prime }>t\}$

$\underset{{\omega }_{-}}{\lim }x=\bigcap _{t\in T}\mathrm{cl}\{\varphi (t^{\prime },x):t^{\prime }<t\}$

여기서 $\mathrm{cl}$은 폐포를 뜻한다.

즉, $y\in \underset{{\omega }_{\pm }}{\lim }x$임은 다음과 동치이다.

$y\in \underset{{\omega }_{\pm }}{\lim }x⟺\mathrm{\exists }(t_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\in T^{\mathbb{N}}:(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_i=\pm \mathrm{\infty }\wedge \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (t_i,x)=y)$

일부 문헌에서는 ${\omega }_{+}$/${\omega }_{-}$-극한 집합 대신 $\omega$/$\alpha$-극한 집합으로 표기하기도 한다.

성질

${\omega }_{\pm }$-극한 집합은 (닫힌집합들의 열의 교집합이므로) 항상 닫힌집합이다. $\varphi$가 연속적이고, 만약 $X$가 콤팩트 공간이라면 ${\omega }_{\pm }$-극한 집합은 공집합이 아닌 연결 콤팩트 집합이다.

${\omega }_{\pm }$-극한 집합은 시간 변화에 대하여 불변이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom

같이 보기

• 극한점