회전수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 위상수학에서 회전수(回轉數, 틀:Llang)는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

정의

실직선의 자기 위상 동형 $F:ℝ\to ℝ$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$F(x+n)=F(x)+n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

이라고 하자. 그렇다면, $F$의 회전수 $\omega (F)$는 다음과 같다.

$\omega (F)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}\in ℝ$

여기서

$F^n=\stackrel{n}{\overbrace{F\circ \cdots \circ F}}$

이다. 이 극한은 항상 존재하며, $x\in ℝ$에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

$F$의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 $f:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$을 정의할 수 있다. 이 경우, $f$의 회전수 $\omega (f)\in ℝ/\mathbb{Z}$는 $F$의 회전수와 같다. 이 경우, $F$와 $n+F$는 같은 $f$에 대응하지만 회전수가 정수 $n$만큼 다르므로, $f$의 회전수는 $ℝ/\mathbb{Z}$의 원소이다. 예를 들어, $\omega (x\mapsto x+\theta )=\theta$이다.

성질

회전수 $\omega$는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 ${\mathrm{Homeo}}^{+}({𝕊}^1)$에서 원군 ${𝕊}^1\cong ℝ/\mathbb{Z}$으로 가는 군 준동형이다. 만약 ${\mathrm{Homeo}}^{+}({𝕊}^1)$에 ${𝒞}^0$ 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 $f,g:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$ 및 연속 함수 $h:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$에 대하여, 만약

$h\circ f=g\circ h$

라면

$\omega (f)=\omega (g)$

이다.

원의 자기 위상 동형의 분류

앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 $f$들을 다음과 같이 분류하였다.

• 1. 만약 $f$의 회전수가 유리수 $\omega (f)=p/q$라면 ($\gcd \{p,q\}=1$), $f$는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, $f$의 모든 주기적 궤도의 주기는 $q$이다. 또한, $f$의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, $f$에서 수렴하는 주기적 궤도와 $f^{-1}$에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
• 2. 만약 $f$의 회전수가 무리수라면, $f$는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
  • 2(a). $f$는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, $f=g\circ (x\mapsto x+\omega (f))\circ g^{-1}$인 방향 보존 위상 동형 $g:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
  • 2(b). $f$의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, $f(C)=C$인 칸토어 집합 $C\subset {𝕊}^1$가 존재한다. 이 경우, $f$의 모든 궤도는 $C$에 수렴하며, 마찬가지로 $f^{-1}$의 모든 궤도 역시 $C$에 수렴한다. 이 경우, $h\circ f=(x\mapsto x+\omega (f))\circ h$가 되는 연속 함수 $h:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$가 존재하며, $h$는 ${𝕊}^1\setminus C$의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.

또한, 만약 $f$가 ${𝒞}^2$ 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.)

같이 보기

• 푸앵카레-벤딕손 정리

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드