추이 측도

틀:위키데이터 속성 추적 측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, 틀:Llang)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.

정의

두 가측 공간 $(X,ℱ)$와 $(Y,𝒢)$ 사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수

$\mu :X\times 𝒢\to [0,\mathrm{\infty }]$

이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $B\mapsto \mu (x,B)$는 $(Y,𝒢)$ 위의 측도이다.
• 임의의 $B\in 𝒢$에 대하여, $x\mapsto \mu (x,B)$는 $(X,ℱ)\to ([0,\mathrm{\infty }],ℬ([0,\mathrm{\infty }]))$ 가측 함수이다.

만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $B\mapsto \mu (x,B)$가 확률 측도라면, $\mu$를 확률 추이 측도(確率推移測度, 틀:Llang)이라고 한다.

시그마 유한 추이 측도

두 가측 공간 $(X,ℱ)$와 $(Y,𝒢)$ 사이의 추이 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 $ℬ\subset 𝒢$가 존재한다면, $\mu$를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, 틀:Llang)라고 한다.

$|ℬ|\le {\mathrm{\aleph }}_0$

$Y=\bigcup ℬ$

$\mu (x,B)<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }x\in X,B\in ℬ$

두 가측 공간 $(X,ℱ)$와 $(Y,𝒢)$ 사이의 추이 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 $𝒜\subset 𝒢$ 및 $ℬ\subset 𝒢$가 존재한다면, $\mu$를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, 틀:Llang)라고 한다.

$|𝒜|,|ℬ|\le {\mathrm{\aleph }}_0$

$X=\bigcup 𝒜$

$Y=\bigcup ℬ$

$\underset{x\in A}{\sup }\mu (x,B)<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }A\in 𝒜,B\in ℬ$

성질

유한 차원 곱공간 위의 측도

틀:참고 다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 개의 가측 공간 $(X_i,{ℱ}_i{)}_{i=1,\dots ,n}$
• 각 $i=1,\dots ,n$에 대하여, $({\prod }_{j=1}^{i-1}{X}_j,{\prod }_{j=1}^{i-1}{ℱ}_j)$와 $(X_i,{ℱ}_i)$ 사이의 시그마 유한 추이 측도 ${\mu }_i$. (특히, ${\mu }_1$은 $(X_1,{ℱ}_1)$ 위의 시그마 유한 측도이다.)

그렇다면, 곱 가측 공간 $({\prod }_{i=1}^n{X}_i,{\prod }_{i=1}^n{ℱ}_i)$ 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.

$\mu :S\mapsto \underset{X_1}{\int }\underset{X_2}{\int }\cdots \underset{X_n}{\int }{1}_S(x_1,\dots ,x_n){\mu }_n(x_1,\dots ,x_{n-1},\mathrm{d}{x}_n)\cdots {\mu }_2(x_1,\mathrm{d}{x}_2){\mu }_1(\mathrm{d}{x}_1)\mathrm{\forall }S\in \prod _{i=1}^n{ℱ}_i$

이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.

$\mu \left(\prod _{i=1}^n{A}_i\right)=\underset{A_1}{\int }\underset{A_2}{\int }\cdots \underset{A_n}{\int }{\mu }_n(x_1,\dots ,x_{n-1},\mathrm{d}{x}_n)\cdots {\mu }_2(x_1,\mathrm{d}{x}_2){\mu }_1(\mathrm{d}{x}_1)\mathrm{\forall }{A}_1\in {ℱ}_1,\dots ,A_n\in {ℱ}_n$

또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 $f:{\prod }_{i=1}^n{X}_i\to \mathbb{(}ℝ,ℬ(ℝ))$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\underset{\prod _{i=1}^n{X}_i}{\int }f\mathrm{d}\mu =\underset{X_1}{\int }\underset{X_2}{\int }\cdots \underset{X_n}{\int }f(x_1,\dots ,x_n){\mu }_n(x_1,\dots ,x_{n-1},\mathrm{d}{x}_n)\cdots {\mu }_2(x_1,\mathrm{d}{x}_2){\mu }_1(\mathrm{d}{x}_1)$

가산 차원 곱공간 위의 확률 측도

다음이 주어졌다고 하자.

• 가산 무한 개의 가측 공간 $(X_i,{ℱ}_i{)}_{i=1,2,\dots }$
• 각 $i=1,2,\dots$에 대하여, $({\prod }_{j=1}^{i-1}{X}_j,{\prod }_{j=1}^{i-1}{ℱ}_j)$와 $(X_i,{ℱ}_i)$ 사이의 확률 추이 측도 $P_i$. (특히, $P_1$은 $(X_1,{ℱ}_1)$ 위의 확률 측도이다.)

그렇다면, 이오네스쿠툴체아 정리(-定理, 틀:Llang)에 따르면 곱 가측 공간 $({\prod }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i,{\prod }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{ℱ}_i)$ 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 $P$가 존재한다.

$P(\prod _{i=1}^n{A}_i\times \prod _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i)=\underset{A_1}{\int }\underset{A_2}{\int }\cdots \underset{A_n}{\int }{P}_n(x_1,\dots ,x_{n-1},\mathrm{d}{x}_n)\cdots P_2(x_1,\mathrm{d}{x}_2)P_1(\mathrm{d}{x}_1)\mathrm{\forall }n=1,2,\dots ,A_1\in {ℱ}_1,\dots ,A_n\in {ℱ}_n$

범주론적 성질

3개의 가측 공간 $(X,ℱ)$, $(Y,𝒢)$, $(Z,\mathscr{H})$ 및 $X\times 𝒢$ 위의 확률 추이 측도 $\mu$ 및 $Y\times \mathscr{H}$ 위의 확률 추이 측도 $\nu$가 주어졌을 때, $X\times \mathscr{H}$ 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.

$\nu \circ \mu :(x,C)\mapsto \underset{Y}{\int }\nu (y,C)\mu (x,\mathrm{d}y)$

확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.

예

두 가측 공간 $(X,ℱ)$, $(Y,𝒢)$ 및 $(Y,𝒢)$ 위의 측도 $\mu$가 주어졌을 때, 함수

$(x,B)\mapsto \mu (B)$

는 $(X,ℱ)$와 $(Y,𝒢)$ 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 $\mu$가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 가측 공간 $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }))$이 주어졌고, 행렬 $p:\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }\to [0,1]$가

$\sum _{y\in \mathrm{\Omega }}p(x,y)=1\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }$

를 만족시킬 때, 함수

$(x,B)\mapsto \sum _{y\in B}p(x,y)$

는 $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }))$ 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

역사

이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아(틀:Llang)가 증명하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용