단위행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 단위 행렬(틀:Llang) 또는 항등 행렬(틀:Llang)은 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다.^[1]틀:Rp

정의

체 $K$ 위의 $n \times n$ 단위 행렬 $1_{n \times n} \in Mat (n; K)$ 는 다음과 같이 정의된다.

(1_{n \times n})_{i j} = δ_{i j} = {\begin{matrix} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{matrix} \forall i, j \in {1, \dots, n}

여기서 $δ_{i j}$ 는 크로네커 델타이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

1_{n \times n} = diag (\underset{n}{\underset{⏟}{1, 1, 1, \dots, 1}}) = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})}_{n \times n}

작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.

1_{1 \times 1} = (\begin{matrix} 1 \end{matrix})

1_{2 \times 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

1_{3 \times 3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

임의의 체 $K$ 위의 $m \times n$ 행렬 $A \in Mat (m, n; K)$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

1_{m \times m} A = A 1_{n \times n} = A

특히, 체 $K$ 위의 $n \times n$ 단위 행렬은 체 $K$ 위의 $n \times n$ 정사각 행렬의 곱셈 모노이드 $Mat (n; K)$ 의 항등원이다.

체 $K$ 위의 $n \times n$ 단위 행렬 $1_{n \times n}$ 의 고윳값은 1이며, 그 대수적 중복도와 기하적 중복도는 모두 $n$ 이다. 즉, $K$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환이 $1_{n \times n}$ 을 행렬로 한다면, 이는 기저와 상관 없이 항등 함수이다.

모든 실수 양의 정부호 이차 형식은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.