쌍곡공간

틀:위키데이터 속성 추적 쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 틀:Llang)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의

$n\ge 2$가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 $H^n$은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(틀:Llang)이 −1인 $n$차원 연결 단일 연결 최대 대칭(틀:Llang) 리만 다양체이다.

성질

쌍곡공간 $H^n$은 $n$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^n$과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

$R_{ijkl}=-(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk})$

여기서 $g_{ij}$는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(틀:Llang) 로런츠 군 ${\mathrm{O}}^{+}(1,n)$이다.

모형

$n$차원 쌍곡공간 $H^n$은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간

틀:본문 n차원 열린 상반공간 ${ℝ}^{+}\times {ℝ}^{n-1}=\{(z,𝐱)|z>0,𝐱\in {ℝ}^{n-1}\}$에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

$d{s}^2=z^{-2}(d{z}^2+\Vert d𝐱{\Vert }^2)$

이 리만 다양체는 $H^n$과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(틀:Llang)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 $z=0$ 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

$\mathrm{dist}(z_1,{𝐱}_1;z_2,{𝐱}_2)={\cosh }^{-1}(1+\frac{\Vert {𝐱}_1-{𝐱}_2{\Vert }^2+(z_1-z_2{)}^2}{2z_1{z}_2})$

푸앵카레 공

틀:본문 반지름이 1인 n차원 열린 초공 $B^n=\{𝐱\in {ℝ}^n|\Vert 𝐱\Vert <1\}$에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 $(r,\mathrm{\Omega })$는 구면좌표계이다 ($r\in [0,1)$, $\mathrm{\Omega }\in S^{n-1}$).

$d{s}^2=\frac{4}{(1-r^2{)}^2}(d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2)$

이 리만 다양체는 $H^n$과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(틀:Llang)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 $\partial B^n=S^{n-1}=\{𝐱\in {ℝ}^n|\Vert 𝐱\Vert =1\}$에 수직인 원호이다.

갠스 모형

n차원 유클리드 공간 ${ℝ}^n$에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

$d{s}^2=\frac{d{\tilde{r}}^2}{1+{\tilde{r}}^2}+{\tilde{r}}^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

여기서 $(\tilde{r},\mathrm{\Omega })$는 ${ℝ}^n$의 구면좌표계이다. 이 리만 다양체는 $H^n$과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(틀:Llang)이라고 한다. 갠스 모형 $(\tilde{r},\mathrm{\Omega })$은 푸앵카레 공 모형 $(r,\mathrm{\Omega })$과 다음과 같이 대응한다.

$\tilde{r}=2r/(1-r^2)$

갠스 모형은 쌍곡면 모형 $(t,\rho ,\mathrm{\Omega })$과 다음과 같이 대응한다.

$(t,\rho )=(\sqrt{1+r^2},r)$

즉, 이는 쌍곡면 모형 $(t,𝐱)$을 $𝐱$ 공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형

$n+1$차원 민코프스키 공간 ${ℝ}^{1,n}=\{(t,𝐱)|t\in ℝ,𝐱\in {ℝ}^n\}$은 다음과 같은 계량을 갖는다.

$d{s}^2=-d{t}^2+\Vert d𝐱{\Vert }^2$

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 $n$차원 초곡면을 생각하자.

$\{(t,𝐱)\in {ℝ}^{1,n}|t^2-\Vert 𝐱{\Vert }^2=1,t>0\}$

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 $H^n$과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(틀:Llang)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

$H^n\cong {\mathrm{O}}^{+}(1,n)/\mathrm{O}(n)$

여기서 ${\mathrm{O}}^{+}(1,n)$은 정시적(틀:Llang) 로런츠 군이며, $\mathrm{O}(n)$은 직교군이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom

같이 보기

• 쌍곡 기하학
• 반 더 시터르 공간